(1) LU
(1) LU
分解
分解
矩阵的
矩阵的
LU
LU
分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩
分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩
阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要
阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要
方阵
方阵
A
A
是非奇异的，
是非奇异的，
LU
LU
分解总是可以进行的。
分解总是可以进行的。
MATLAB
MATLAB
提供的
提供的
lu
lu
函数用于对矩阵进行
函数用于对矩阵进行
LU
LU
分解，其调用格
分解，其调用格
式为：
式为：
[L,U]=lu(X)
[L,U]=lu(X)
：
：
产生一个上三角阵
产生一个上三角阵
U
U
和一个变换形式的下三角
和一个变换形式的下三角
阵
阵
L(
L(
行交换
行交换
)
)
，使之满足
，使之满足
X=LU
X=LU
。注意，这里的矩阵
。注意，这里的矩阵
X
X
必须是
必须是
方阵。
方阵。
[L,U,P]=lu(X)
[L,U,P]=lu(X)
：
：
产生一个上三角阵
产生一个上三角阵
U
U
和一个下三角阵
和一个下三角阵
L
L
以及
以及
一个置换矩阵
一个置换矩阵
P
P
，使之满足
，使之满足
PX=LU
PX=LU
。当然矩阵
。当然矩阵
X
X
同样必须是
同样必须是
方阵。
方阵。
实现
实现
LU
LU
分解后，线性方程组
分解后，线性方程组
Ax=b
Ax=b
的解
的解
x=U\(L\b
x=U\(L\b
)
)
或
或
x=U\
x=U\
(L\Pb)
(L\Pb)
，
，
这样可以大大提高运算速度
这样可以大大提高运算速度
。
。
例
例
7-2
7-2
用
用
LU
LU
分解求解例
分解求解例
7-1
7-1
中的线性方程组。
中的线性方程组。
