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数理逻辑:基本原理与形式演算 评分

数理逻辑是以公理系统和数学证明为研究对象的数学分支,对信息科学与技术的发展具有指导作用。本书共分十章,系统介绍数理逻辑的基本原理与形式演算。前五章涵盖了经典数理逻辑的核心内容,包括一阶语言的语法与模型,形式推理系统,可计算性与可表示性,哥德尔定理。后五章的内容是作者的研究心得。这部分阐述了形式理论的版本序列及其极限,修正演算系统,过程模式及其性质,以及归纳推理理论,提出了三个语言环境的思想以及元语言环境的基本原理,并描述了信息社会中科学研究的工作流程。
信息科学与技术基础丛书 数理逻辑 基本原理与形式演算 李未著 斜学出版社 北京 《信息科学与技术基础丛书》序 迅猛发展的信息科学与技术将人类社会带入了信息时代半个多世纪以来,众 多学者为信息科学的建立、信息技术的发展和信息社会的进步作出了不懈的努力 然而,要为信息科学与技术奠定坚实的基础,我们仍然面临很多问题与挑战.无论 是科学研究和技术革新,还是基础教育和学科建设,都需要我们继续付出艰苦的劳 动 如何加强和深化信息科学的基础研究,完善已有的创新成果,为信息技术的持 续发展提供保障?如何将重要的学术思想、理论和方法系统化,将信息科学与技术 各个分支中的基本原理、核心内容和最新进展结合起来?如何让学术论著同时服务 于科研与教学,使其相辅相成、相互促进?这些问题的解决将会使我国信息科学与 技术的基础教育和学术研究的质量得到显著提高 《信息科学与技术基础丛书》是为解决上述问题所做的一种尝试.这套丛书旨 在收录信息科学与技术领域的研究专著.要求每部著作中都有一定篇幅的内容是 著者的原创性研究成果,并且结构合理、内容充实、论证严密、写作规范.这套丛书 可以作为研究生和高年级本科生的教材和教学参考书.入选这套丛书的每部著作 都至少需要通过两位同行专家的评审 这套丛书的出版离不开作者、出版社与编委会的通力合作和诸多同仁的支持 在此我们向支持丛书出版工作的所有个人和单位表示诚挚的谢意,并热切期待来自 读者的批评、指正和帮助,使这套丛书能够不断完善,成为信息科学与技术方面的 重要文献 2007年8月10日 序 经典数理逻辑是数学基础的重要组成部分,是以数学的方法,特别是公理系统 和数学证明,为研究对象的数学分支.它的核心内容包括一阶语言的语法理论,一阶 语言的模型理论,形式推理系统及其可靠性和完全性,可计算性理论和哥德尔的两 个定理,即形式理论的不完全性定理和关于形式理论的协调性定理.从数理逻辑的发 展历史来看,这些理论都是百余年来从数学的研究方法中总结和抽象出来的,主要 结论大多是在20世纪40年代之前证明的 1990年,我在德国萨尔布吕肯大学( Universitat des saarlandes)担任了一年祖 思( Konrad zuse)讲座教授,给计算机系学生开设了一门数理逻辑课程;之后又在丹 麦和国内讲了几次,并对其中的某些内容做过多次专题讲座.随着我对数理逻辑理解 的加深,对它的研究兴趣也越来越浓,并由此萌生了为生活在信息社会中的大学生 和从事科学研究的人们,写一本数理逻辑书的想法 产生这一愿望的原因来自下述认识.20世纪40年代,人们发明了计算机,不久 又定义了高级程序设计语言并在计算机上加以实现.自此之后,计算机科学、人工智 能和计算杋软硬件技术得到了迅猛发展.这对数理逻辑产生了深刻影响.数理逻辑的 概念、理论和方法在这种发展中得到了广泛的应用,而这种发展反过来又对数理逻 辑的研究提出了新的要求,这可以从两方面加以说明. 方面,数理逻辑原本是关于数学的公理系统和数学证明的一般理论,但它所 建立的概念、理论和方法,不仅在程序设计语言的研究中获得了完全的认同,而且 在计算机软硬件设计和实现技术方面起到了原则性的指导作用.例如,结构归纳方法 是为定义一阶语言的语法而发明的,可是现在每一个程序设计语言都是用这种方法 定义的,所以有关程序设计语言的性质,原则上都可以用一阶语言的方法加以研究 又如,根据一阶语言及其模型理论,皮亚诺算术是一阶语言的一个形式理论,而小 学课本中包括加、减、乘、除四则运算的自然数系是该理论的一个模型.这种区分在 理论研究方面是重要的,只有如此,哥德尔定理才得以证明,可是这种作法,对人 们日常的数学和计算实践,既不自然,也无必要.但是就程序设计语言来说,如果将 用此语言写的程序,与经过编译之后产生的可执行代码加以区分,并将后者与编译 程序合在一起,作为该语言的模型,那么这种区分就不仅仅是理论研究上的需要 而且在实践上也是不可或缺的.若非如此,程序设计语言就无法在计算机上使用.再 例如,经典数理逻辑中最难懂的部分是哥德尔不完全性定理的证明,特别是证明中 IV 序 项或逻辑公式的哥德尔数和哥德尔项的使用.它之所以难懂,是因为从纯数学的角度 来看,很难找到对这种证明方法的直观解释.但是从程序设计的角度来看,其直观 解释就是指针的思想.具体地说,用指针将每一个项或逻辑公式指向其相应的哥德尔 项,而其哥德尔数就是指针指向的地址,在此地址中存储着哥德尔项.只有这样做, 才能将项和逻辑公式这两种不同类型的语法对象都转换为一阶语言的项,才能在一 阶语言中解决“自指语句”的描述问题. 由于上述原因,我希望写这样一本书,它不仅能从数学基础的角度研究数理逻 辑,而且还能在方法论层面上,对生活在信息社会、从事科学技术研究的人们有所 启迪.因此,这本书不仅要用抽象代数、数论等数学理论解释数理逻辑的概念、理论 和方法,还要用计算机、程序设计语言和软件的实践来解释它们,要将数理逻辑的 概念、理论和方法与计算机、程序设计语言和软件的研究与发展联系起来 另一方面,计算机科学、人工智能和计算机软硬件技术经过六十多年发展所积 淀下来的知识,蕴含眷经典数理逻辑所不能涵盖的概念、理论和方法.为此,人们进 行了不懈的努力,力求将它们抽象和总结出来,进而丰富和充实经典数理逻辑的内 容,以便对信息科学和技术的发展起到理论上的指导作用.因此我又希望,这本书能 在经典数理逻辑现有成果的基础上,将自己对这些概念、理论和方法的认识和理解 加以总结,作为对经典数理逻辑进行拓广和发展的一次尝试.概括起来,我的主要研 究工作是以下述四个基本问题为出发点展开的 关于软件版本问题.首先,每一个软件系统都是用程序设计语言编写的, 是一个形式系统,而这个系统的需求说明,也称规约,可以用一阶语言的形式理论 来描述.其次,每一个软件系统的实现都不是一蹴而就的,它至少要由需求说明、软 件编制和软件测试三部分人员,经过频繁交流与紧密合作,对系统进行多次测试与 修改,方可完成.因此,在软件开发和应用的实践中,每一个软件系统都是以版本的 形式出现的.只有对软件系统的版本加以区分,才能支持设计、编程和测试人员的交 流与合作由此可见,软件系统的版木是一个基本概念,版本反映软件系统的进化 随之而来的版本序列同样是基本概念,因为它记录了一个软件系统的进化过程和变 化趋势.所以,数理逻辑要发展,就应该将形式理论的版本和版本序列作为新的研究 对象;只有这样做,才能描述和研究形式理论的进化过程 二、关于软件测试问题.测试是软件开发中不可缺少的重要环节,只有经过严 格测试的软件才能被使用.为此,人们研制了许多软件工具,使测试工作日趋专业 化.尽管如此,对软件的测试仍需要投入大量人力,而且测试人员的素质和经验仍然 与测试质量和效率密切相关,所以软件测试尚处于“工艺性技术”阶段.总体上说 软件测试是由测试样例的制定和对软件错误的修正两部分组成的.这两部分都是逻辑 推理的结果.首先,测试样例是人们通过对软件系统的需求说明进行逻辑分析之后设 计出来的,因此它是逻辑推理的结果.其次,在使用测试样例对软件进行测试的过程 中,如果测试结果与软件需求说明的预期不一致,那么人们必须以测试结果作为依 据,通过逻辑推理找出原因,进行错误定位,再加以改正.所以对软件错误的修正 也是逻辑推理的结果.如果我们将数学证明与软件错误的修正加以比较,那么就不难 看出,数学证明是逻辑推理,是经典数理逻辑的研究对象.我们可以建立形式推理系 统,并证明这个推理系统的可靠性和完全性,从而可以使用计算机作为辅助工具进 行数学定理的证明.与之相比,软件测试中对软件错误的修正也是逻辑推理,所以它 也应该像数学证明一样,成为数理逻辑的研究对象.我们也可以建立形式化的错误修 正系统,并证明这个系统的可靠性和完全性,进而可以使用计算机作为辅助工具, 实现软件纠错的“机械化”.如果这个目标能实现,那么这种在数理逻辑抽象层面上 的研究成果,将会对提高软件测试效率起到理论上的指导作用 三、关于软件开发方法问题.每一个软件产品都是开发出来的,软件的开发方 法决定了软件的质量和成本.总体上说,软件开发方法主要是由构造软件系统的若干 规则和流程组成的,它的每一步,虽然不像程序那样可以在计算机上执行,但都必 须具有可操作性,或可构造性.由于可计算性是经典数理逻辑的研究对象,我们可以 定义指令系统和程序设计语言,通过编制程序解决每一个可计算的问题.由于计算过 程只是一种特殊的构造过程,所以构造过程也应作为数理逻辑的研究对象.我们可以 通过定义可构造性,设计描述软件开发方法的构造性语言,进而从数理逻辑的抽象 层面,研究软件开发方法所应具有的数学性质. 四、关于元语言环境问题.一阶语言和它们的模型是在元语言环境中定义并加 以说明的,而许多重要的定理也都是在元语言环境中加以证明的.这必然对元语言环 境有所要求,有所限制数理逻辑发展到这一阶段,对一阶语言的元语言环境所必须 遵守的原理问题,应该给出明确的回答. 从更广泛的意义上来说,每一个数学和自然科学理论的形成都是一个进化过 程,而在这一过程中,这些理论在不同阶段都具有版本的特征,只不过它们,特别 是数学,与软件开发相比,通常是由为数不多的专家群体,在很长时间内完成的, 其原理和公理的规模远比软件系统来得小,而产生的时间又远比软件版本来得长 所以版本的问题不像在软件系统的设计与生产中显得那么突出.实际上,从版本和版 本序列的观点来看,与其说经典数理逻辑是以公理系统为研究对象,不如说它是以 公理系统的一个阶段版本为研究对象更为准确.总之,在数学和自然科学理论不断完 善的过程中,也同样存在着版本和版本序列、理论的修正、科学研究的方法以及元 语言环境等问题.这些都是数理逻辑发展到现阶段应该解决的问题 十几年来,我对这些问题的研究和探索始终没有停止过,它已成为我生活的 部分.研究的心得和成果,择其要者,都写进了这本书中.本书共有十章,内容分为 序 两部分.第一部分由前五章组成,主要介绍经典数理逻辑的核心内容.第二部分由后 五章组成,主要研究形式理论的版本、版本序列及其极限、形式理论的修正、过程 模式、形式理论的进化、归纳推理问题以及元语言环境的基本原理.相对于经典数理 逻辑而言,第二部分内容都是新的,是作者的研究心得 由丁是一本数理逻辑的专著,本书在写作深度和严谨性方面,以数理逻辑经典 著作为标准:凡概念都给出了严格的定义,并通过例子加以说明;凡定理都给出了 格的证明,并力求给出证明的细节;凡引用的结论和方法均给出了原创者和出处 本书可以作为信息科学类研究生的专业基础课教材,前5章还可以作为大学本科生 的数理逻辑教科书 尽管在过去的几年中,作者对书稿进行了多次重大修改,但摆在读者面前的这 版,仍难免有不足,甚至错误.我真诚地欢迎读者的每一个批评和建议 老伴孟华是最早建议我将自己对数理逻辑的理解和研究工作总结成书的人.这 华,她和女儿李晓耕将出书当成是我们家最重要的事.没有她们的爱心和坚持不懈的 支持和鼓励,这本书还不知要拖多久才能出版张玉平是本书每一章和每次重要修改 的第一位读者,他热情地提出了许多有益的建议马声明、罗杰和作者一道,对本书 进行了仔细的阅读和讨论,并尽其所能对所发现的错误逐一修改.罗杰完成了电子版 的编辑、排版和改错工作.周巢尘院士阅读了本书第4章的初稿;作者根据他的建议 做了修改,给出了可表小性定理的证明路线图,并和罗杰、马声明一道在附录3中 给出了该定理的详细证明.对他们的鼓励、支持和帮助,作者表示最诚挚的感谢.在 本书出版之际,作者还要衷心感谢科学出版社,感谢他们对本书始终保持着热情和 耐心! 作者 2007年4月28日于北航 符号对照表 空集 真包含 包含 真包含于 包含于 并集 交集 ∈ 属于 否定 或者 并且 如果 那么 且仅当 对所有 存在 等词 常元符号集合 函数符号集合 谓词符号集合 初等算术语言 加法符号 +.s& 乘法符号 后继函数符号 哥德尔编码函数 nax 最大值 秩 水N+上 自然数系统 形式推理关系 逻辑推理关系 符号对照表 Th 形式理论闭包 II 初等算术理论 程序状态转换关系 n 极限运算符号 归结关系 力迫关系 必要前提 R转换关系 归纳推理关系 先入协调关系

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mark_tanlixing 非常感谢,非常经典
2018-09-10
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haidegeer 谢谢分享,自主学习看一下
2017-10-23
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kakie_chan 非常好,感谢分享
2016-12-21
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qq_17312011 很抽象,适合学数学的人
2014-07-16
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汪芳庭 数理逻辑

作者: 汪芳庭 出版社: 中国科学技术大学出版社 出版年: 1990年9月 页数: 273

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国内最为经典详实的数理逻辑教材。中国科学技术大学出版社1990年出版。包含命题逻辑、谓词逻辑、哥德尔不完备性定理等内容。 下载后可以通过Adobe PDF虚拟打印机打印成PDF文档。

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