复变函数课后习题答案资源-CSDN文库

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复变函数

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习题一解答.pdf 308KB

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习题三解答.pdf 104KB

习题一解答

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。

（1）

i23

；（2）

−

；（3）

(

)

(

)

5i24i3

−

；（4） i4ii

218

+−

解（1）

()()

()

2i3

2i32i3

2i3

−=

−+

−

所以

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+ i23

，

2i3

Im −=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

()

2i3

，

2i3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

，

kπ2

i23

arg

i23

Arg +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

",2,1,0,2

arctan ±±=+−=

（2）

()

(

)

()

3i3

i)(1i1

i13i

−=+−−−=

+−

−

所以

Re =

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

Im −=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

，

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

，

kπ2

arg

Arg +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

",±,±,=,+−= 2102

arctan kkπ .

（3）

()

(

) ()()()

()( )

(

)

(

)

2i7i26

2i2i

2i5i24i3

5i24i3

−

13i

26i7

−−=

−

所以

()

(

)

5i24i3

Re −=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−+

，

()

(

)

5i24i3

Im −=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−+

，

()

(

)

l3i

5i24i3

+−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

()

(

)

295

5i24i3

−+

，

()

(

) ()

(

)

kππkπ 2

arctan22

i52i43

arg

i52i43

Arg +−=+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

()

",2,1,0,12

arctan ±±=−+= kk

（4）

(

)

(

)

() ()

ii141iii4ii4ii

104

2218

+−−−=+−=+−

3i1i4i1 −

−

所以

{

}

{

}

3i4iiIm1,i4iiRe

218218

−=+−=+−

3i1i4ii

218

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

， 10|i4ii|

218

=+−

(

)

(

)

(

)

2kπ3i1arg2kπi4iiargi4iiArg

218218

+−=++−=+−

.2,1,0,k2kπarctan3 "

−

2．如果等式

(

)

3i5

3yi1x

−

成立，试求实数 x, y 为何值。

解：由于

(

)

(

)

[

]

(

)

()()

3i53i5

3i53yi1x

3i5

3yi1x

−+

−

(

)

(

)

(

)( )

[

]

3y51x3i3y31x5 −

−

[]

()

i1185y3xi43y5x

+=−+−+−+=

比较等式两端的实、虚部，得

⎩

⎨

⎧

=−+−

=−+

341853

34435

或

⎩

⎨

⎧

=+−

5253

3835

解得

11,1

= yx 。

3．证明虚单位

有这样的性质：-i=i

-1

= i 。

4．证明

1) | |

6) Re( ) ( ), Im( ) ( )

22i

zzz

zzzz z

−

证明：可设 izxy

+ ，然后代入逐项验证。

5．对任何

，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些

值才成立？

||zz=

解：设

，则要使成立有

izxy=+

||zz=

22 2

yxyx−+ =+y 0，即。由此可得为实数。

2222

,xyxyxy−=+ = z

6．当

时，求的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。 1|| ≤z || az

解：由于

|a||a||z|az

+≤+≤+ 1 ，且当

arg

= 时，有

()

|a|ea|a|eea|z

+=+=+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=+| 11

argiargi

arg

故

为所求。 ||1 a+

8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

（1）i；（2）-1；（3）1+

3 i；

（4）

(

)

π0isincos1

≤

−

；（5）

+−

；（6）

(

)

()

isin3cos3

isin5cos5

ϕϕ

−

解：（1）

isin

cosi =+=

；

（2）

iπ

eisinπcosπ1 =+=−

（3）

isin

cos2

23i1 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=+

；

（4）

1 cos isin 2sin i2sin cos 2sin sin icos

222222

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

⎛⎞

−+ = + = +

⎜⎟

⎝⎠

π)(0,e

2sin

isin

cos

2sin

≤≤=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ϕϕϕϕ

；

（5）

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−=−−=

+−

2i1i12i

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

isin

cos2

−

（6）

()

()( )

i5 i3 i10 i9 i19

cos5 isin5

e/e e/e e

cos3 isin3

ϕϕϕ

ϕϕ

−−

−

isin19cos19

9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：

1）平移公式：

;

yyb

⎧

⎨

⎩

2）旋转公式：

cos sin ,

sin cos .

xx y

yx y

=−

⎧

⎨

⎩

解：设

iAa b

+ ，

izxy

+ ， izxy

+ ，则有

1）

；2）

zz A=+

(cos i sin ) ezz z

αα

=+=。

10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？

解：设复数

，则

ezz

Argi

||=

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=⋅||=−

Argi

|z|eeeziz ，可知复数的模不变，

辐角减少

。

11．证明：

，并说明其几何意义。

222

12 12 1 2

||||2(|||zz zz z z++−= +

证明：

12 12 1212 1212

11 2 2

| || | ()()()(

2( )

2(| | | | )

zz zz zzzz zzzz

zz zz

++− = + ++− −

)

其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。

12．证明下列各题：

1）任何有理分式函数

()

可以化为 i

的形式，其中

与Y 为具

有实系数的

与的有理分式函数； y

2）如果

()

z 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 () i

zXY=−；

3）如果复数

iab

是实系数方程

01 1

az az a z a

−

++ +="

的根，那么

也是它的根。 iab−

证 1）

() () () Re( () ()) Im( () ())

()

() (, ) (, )

() ()

Pz PzQz PzQz PzQz

Qz qxy qxy

QzQz

== = +

;

2）

() () ()

() i i

() ()

()

Pz Pz Pz

Qz Qz

⎛⎞

YXY

= = =+=−

⎜⎟

⎝⎠

;

3）事实上

(

)

01 1

Pz az az a z a

−

++++"

()

zPzazazaa

=++++= "

210

13．如果

，试证明

ez =

（1）

cos2

=+ ；（2） nt

sini2

=−

解（1）

nteeee

sin2

intintintint

=+=+=+

−

（2）

nteeee

sini2

intintintint

=−=−=−

−

14．求下列各式的值

（1）

(

i3 −

)

；（2）

(

)

i1+ ；（3）

1− ；（4）

()

i1−

解（1）

()

6/5i

6/i

322

2i3

ππ

−−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

5π 5π

32 cos isin 16 3 16i

⎡⎤

⎛⎞ ⎛⎞

=−+−=−−

⎜⎟ ⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠ ⎝⎠

⎣⎦

（2）

()

i/4 3i/2

1i 2 2e 8e 8i

ππ

⎡⎤

⎛⎞

+= + = = =−

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎣⎦

。

（3）

()

iπ 21/6

iπ+2

1 e e , 0,1,2,3,4,5

−= = = 。可知

1− 的 6 个值分别是

/6i

/2i

，

/65i

+−=

/6i7

−−=

，，i

23i

−=

/π

411i

−=

/π

e 。

（4）

()

0,1,2=,==

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

2=−1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

/−

kee

kπ

i 。

可知

的 3 个值分别是

()

1/3

1i−

sini

cos22

sini

cos22

12/7i

2/i

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

−

ππ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

sini

cos22

4/5i

ππ

。

15．若(1 i ) (1 i )

=− ，试求 n 的值。

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