### DNA序列分类（2000年竞赛题）
#### 概述
在数学建模领域，特别是涉及到生物信息学的应用中，对DNA序列的分类是一个典型的研究案例。本题源自2000年的数学建模竞赛，旨在通过一系列数学工具和技术来解决DNA序列的分类问题。题目提供了一定数量的已知类别样本数据，要求参赛者基于这些数据构建一个分类模型，并利用该模型对未知样本进行分类。
#### 题目背景
DNA是由四种碱基（腺嘌呤A、胸腺嘧啶T、胞嘧啶C、鸟嘌呤G）组成的大分子，人类基因组计划的目标之一就是要解析这个由约30亿个碱基对组成的序列。尽管我们对这个序列的了解还很有限，但已经发现了一些规律性和结构特征，例如用于编码蛋白质的序列片段通常由特定的三个碱基组成的三联体编码20种氨基酸。
#### 分类目标
本题要求从20个已知类别的人工制造的DNA序列中提取特征，并构造分类方法。这些序列中有10个属于A类，10个属于B类。接下来，需要利用构建好的分类模型对另外20个未知类别的序列以及182个自然DNA序列进行分类。
#### 解题思路
1. **特征形成与提取**：通过对单个碱基（1字符串）、双碱基（2字符串）和三碱基（3字符串）的出现频率进行统计，形成基本特征集。然后，利用主成分分析法（PCA）从这些特征中提取出最关键的几个特征，以便减少特征维度，提高分类准确性。
2. **分类模型**：利用提取出的关键特征，采用Fisher线性判别法进行分类。这种方法能够找到最佳的分类超平面，使得不同类别的样本之间的距离最大化。
3. **模型检验**：通过对比实际分类结果与已知的类别信息来评估模型的有效性。
#### 模型建立与求解步骤
1. **特征形成**：根据DNA序列的特点，选取了1字符串、2字符串和3字符串出现的频率作为基本特征。例如，统计每个序列中“A”、“AT”和“ATC”等的出现频率。
2. **特征提取**：应用主成分分析法从这些基本特征中提取出4个最相关的特征。这样做的目的是降低特征空间的维度，减少计算复杂度并避免过拟合。
3. **分类决策**：使用Fisher线性判别法进行分类，这是一种监督学习方法，可以通过训练样本数据找到最优的分类边界。
4. **模型验证**：通过已知类别的序列测试分类模型的准确率。对于人工制造的20个序列，分类结果表明22, 23, 25, 27, 29, 34, 35, 36, 37为A类，其余为B类；对于182个自然序列，部分序列为B类，其余为A类。
5. **结论**：通过实验结果可以看出，该分类模型在DNA序列分类方面表现良好，能够有效地区分不同类别的序列。
#### 结论
本题通过数学建模的方法解决了DNA序列分类问题，不仅展示了数学工具在生物学研究中的应用价值，也为后续研究提供了有价值的参考。通过这一模型，我们可以更好地理解DNA序列中的结构特征，并为进一步的生物信息学研究打下坚实的基础。
