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卷积计算，z变换计算，性质，定理

卷积计算，z变换计算，性质

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概念、定义、问题、傅里叶变换及定义，z变换关系。计算方法，图式计算。可以供初学者学习，概念清晰，条理清楚。

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第 1 页共 25 页

第三章时域离散信号和系统的 Z 变换分析

§1 序列 Z 变换的定义

对

()

∞

=−∞

∞

∑

, 无 FT, 故引入 Z 变换.

{

}

()

n 的 Z 变换: () ()

zxnz

∞

−

=−∞

∑

对因果

{

}

()

, 有

() ()

zxnz

∞

−

∑

, 其中

Re[] Im[]

zzjzre

=+ =, r 的取值使上式收敛,

所得区域称为

()

z 的收敛域,一般为(类似幂级数）

第 2 页共 25 页

−+

< 或

−

< ,

变换结果常为有理函数

()

()Pz的根称为 ()

z 的零点;

()Qz

的根称为

()

的极点;

极点为界, 域中无极.

例 1 设

() 0.9 ()

nun= , 求 ()

z 和收敛域.

解

() 0.9

10.9

Xz z

∞

−

∑

, 收敛域为

Im[ ]z

Re[ ]z

−

第 3 页共 25 页

0.9 1z

−

即 0.9z > 或0.9 z

≤∞.

写成

()

0.9

−

,零点 0z

,极点 0.9z

FT 与 ZT 的关系 (域中无极)

() ()

zxnz

∞

−

∑

() ()

jjn

Xe xne

∞

−

∑

() ()

Xe Xz

= ,即单位圆上 z 变换.

(收敛域包含单位圆周= =有 FT 变换)

Im[ ]z

Re[ ]z

−

()xn

∞

∑

∞

=−∞

第 4 页共 25 页

例 2

() ()

nun=

(注无 FT), 求其 ZT 和收敛域.

解

()

Xz z

∞

−

∑

收敛域为

−

,即 1z > .

注例 1,2 均为右单边变换, 收敛域均为

−

§2 序列特性与收敛域

1. 有限长序列

(),

nn n n

< 的 ZT

() () ( ) ( )

zxnzxnz xnz

−

==++

∑

L ,

第 5 页共 25 页

(1)

0, 0nn<<, 收敛域: 0 z

≤

<∞;

(2)

0, 0nn<>, 收敛域: 0 z

<∞;

(3)

0, 0nn≥>, 收敛域: 0 z

≤∞;

例 1 求

() ()

nRn

的 ZT 和收敛域.

解

() 1

Xz z z z

−

−− −+

−

==+++=

−

∑

L ,

收敛域

0 z<≤∞.

零极点分析:

()

(1)

−

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Radiance_

2018-06-06

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hanxue64

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