循环小数-康明昌

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讲解循环小数的数学规律
循環小數57 在另一方面,因為a整除10-1,所以p≠5是任一奇質數,且p不整除b,則b 也整除(104--1)b因此,存在正整數q使的循環節位數必整除p-1。 得 證明:利用 Euler定理(5, Theorem (104-1)b=ag 25.,p.102;9,p.69);請注意,min{e∈ 也就是, N:10°≡1(modn)}其實是10在乘法群 104·b=ag+b (Z/nz)的秩( order)。得證。 因爲1<b<a,所以b是10.b除 定理3:如果n,m≥3,2與5都不整 以n的餘數可知d≤循瑙節的位數(護者除mn,並且m與m是互質的正整數,則 只須取個實例做做看便知;例如,取237.1m的小数位數是1/m與1/m循猥 d=3)得證 小數位數的最小公倍數。 定理2:如果1≤b<a,沒有2或5 證明:根據「中國餘數定理」(5,p.10 的質因數,並且a與b互質,那麼b/的循9,p164~165),再利用定理1 環節位數必整除g(a)l(y(n)是 Euler的 例題4:以下列出一些質數p與1/p的 φ函數[5,p.47;9,p.69~71])。因此,若循環節位數: 質數 37111317192329313741 循環節位數「16261615281525 434753596167717379838997101103 21461358603335813414496434 107109113127131137139149151157163167173179 531081124213084614875788116686178 181191193197199211223227229233239241251263 1809519298993022211322823273050262 269271277281283 26856928141 讀者有沒有發現,1的得的循環節恰有p-1位? 循環節位數恰好是υ-1這種質數的數目能否有個 的質數相當多?例如,p-比較精確的估計?這就是 7,17,19,23,29,47,59,61,… 是所謂的「Am猜想」6) 不是有無窮多的質數p使設p是奇質數。如果1p 58數學傳播25卷3期民90年9月 有d位循環節,利用定理1是以上8個數的分子部份:1,1,1004 可以證明1俨的循環節位 136.127,37.96。 數是d或如。同理,若1考G中之H陪集表示法(5,P 的循環節位數是"(0≤m<529,p5 n),則1/的循環節位數G=nU3Hu9HU27H.J3H 是n或如+1注意,1/47與 14的循環節都有位(,121 例如,陪集7H={7,70,15,13,130.67, p.79)o 因雳7/137=0.05109489,所以 70/137=0.51094890 15/137-0.10948905, 回到1/7.2/7,,,6/7的循環小 13/137=0.09489051 數表示式,鳥什麼它們都可以徑由1/7 0.142857的循環節輪搀排列得到? 130/137=0.94890510, 因為1/7=0.142857 所 67/137=0.48905109 以10(1/7)-1.428571.…。因此 122/137=0.89051094, 3/7=[10/=0.428571。同理,考慮 124/137-0.90510948 307=2/7,[20/7=6/7,[60/7 同理.取出其餘的陪集也可做出類似的 4/7.[40/7=5/7,50/7=1/7。得證。 結果。結論:分數1/137,2/137, 但是1/7的循環節恰有6(=7-1)位 136/137可分成17個軌道(陪集!),每個 如果是1/137,秸果會如何? 軌道有8個元素,這8個元素的循環小數表示 1/137=0.00729927 式是某一循環節做輪換造成的。 10/137=0.07299270 100/137=0.7299270 (四) 4/137=0.2992707, 鳥什麽把24/91=0.263736的循環 136/137=0.99270072 粘分成两段:263與736,其對應項(2與7,6 127/137=0.92700729 與3,3與6)之和為9? 37/137=0.27007299 在24/91的情況,利用定理1可知:106 ≡1(mod91)。因此,103≡-l(mod91) 96/137=0.70072992 所以,91整除103+1,91也整除24(103+1 在乘法群G=(Z/137Z)x中,設H=24+24000。但是,24/91=0.263736 是10所生成的子群,則H恰有8個元素就24000/91-n+0.736263(回憶第(三) 循環小數59 節的方法),其中m是2400091的整數部 但是,在(1)式中,1/17與1/73的循 份。 環節是4的倍數,把它們拆成四段,前後兩段 因露24/91+24000/91是整數,可知的和(注意不是對應項的和!)可能是99或 0.263736263736 198(假設每一小段有兩個數字)。請讀者對此 +)0.736263736263 也做個「合理的解釋」。 2}p 考慮1/7的長除法, 也是個整數。 1.142857 這個整數當然是1。 因此A=263+736能是什麼樣 的數呢?首先,如果A>100.那麽 20 0.263736+0.736263就超出1:如果 14 A≤998,那蕨0.263736+0.736263就比 56 40 0.999999.還要小。所以A只能是999 35 得證對應項之和必駑9現在你能不能證明以 50 下定理? 定理5:若p≥7是個質數,n與m是 當两分别是1,4,2,8,5,7時,其餘 任意正整數且p不整除m,則m/P的循環數分别是3,2,6.4,5,1,把這些餘數分成兩 節有偶數位。將此循環節分成前後兩段,則此 段:326與451,其對應項之和恰好是除數!鳥 兩段之對應項的和皆9 什麽? 假設1/7=0.i102…kb1b2bk 討論:若?與m是任意互質之正整數 k, 且m與10互質,以上定理對於m/n仍然 成立,只要它滿足以下兩個倏件:(1)m/mn的 104=7·(a1a2…a)+r(r是餘數), 循環笛位數是偶數,合其鶯2k;(1)10三10+6=7·(b1b2…b)+S(s是餘數) 1(modn)因此,這個定理對於24/91也 是成立的。但是在37/303=0.1221的情 因10=-1(mod7),因此102+10+k 形,因鳥102≠-1(mod303),這個定理就 可被7整除,所以γ+s也可被整除,得證 不適用了。 +9=7 回到(1)式,1/7的循環節是3的倍數 例題6([1,P.77]):怎麼求出1/97的 因此可以把它拆成14,28,57三段,它們循環小數表示式? 的和恰爲99。(你能不能也給個「合理」的鮮 利用長除法,得1/97=0.01030927 釋?) 835 60數學傳播25卷3期民90年9月 但是5/97是1/97的5倍,因此把些數學方法有時難度並不高,有些則難度甚 01030927835乘上5倍得 高(如:Arin猜想6) 在本文結束之前,我們看一看 Conway 1/97=0.0103092783505154639175 97與Guy砉中的一個例子(2.p170 注意,25=100÷4。因此以上的小數可以 例題7:如果m/91=0. abe def, 「推進』00倍,再除以4。得 那麼有沒有一個正整數m使得m/91 0. fed cba?例如 25/97=0.2577319587628865 25·25 979375 13/91=0.142857 97 69/91=0.758241 但是75252=81#,81带=8144325。 7/91=0.076923, 得知 30/91=0.329670, 1/97=0.01030927835051546391 1/91=0.010989 75257731958762886597 90/91=0.989010 93814432.∴ 5/91=0.054945 以下還有48位小數,但是根據定理5的 2/91=0.021978, 寸論,前段與後段對應數之和駑9。故,接下 80/91=0.879120 來的數應焉98969072.得(1)式中 4/91=0.043956, 1/97的表小式。 60/91=0.659340. 14/91=0.153846, 五 59/91=0.648351, 以上的討論不只對於10進位的循環小 24/91=0.263736 數展開成立;當q是大於1的正整數,以上 58/91-0.637362 的性質對於q進位的循環小數展開式也成立 盒什麼分母「必須」是91?這些對偶的數.如 (7,p.149 13與69.7與30等,是怎麼找到的?首先,如 在過去兩三百年,宪竟有哪些人硏宪過 果 循環小數的性質?硏究哪些問題? Dickson 在③的第六章有非常詳盡的記錄。但是,這 91=0.abc de f 都是過眼煙雲,讀者不看也罷。本文的目的之 m/ 91=0.fed cda, 一是想告訴讀者,有一些看似「神」的現象那麽,m/91= abcdef/(106-1),m/91= 其實可以用很簡罩的數學方法加以證明 fedcba/(106 循環小數61 當然,如果任取α,b.c,,e,∫,那麽的倍數。結論:只須選定α,b,C,d,e,f使 acle/(10°-1)舆 fedcbc/(10-1)就得 是我們希望找的有理數。 a-f-c+d≡0(mod11l) 但是這兩個有理數的分母太大、不夠 a-f-b+e+c-d=0(mod 11) 「有趣」,我們希望分母小一點。 因鳥106-1—33·7·11·13·37 從第一個件得知∫=a-c+d+111 並且1/3的循環筍有三位,而1/7.11.(k是整數)。如果k≠0,則不管a,c,d如 1/13.1/37的循環節分别有6位、2位,6位, 何選取(0≤a,C,d≤9),∫≥10必成立 故k-0,並且∫-a-c+d 3位(見例題4) 把∫=a-c+d代入第二個倏件,得 因此,如果atl/(10-1)舆知c=b-2c+2a+11h(是整數){過 fedcba/(10°-1)有6位循環節,根據定理 討論可知h=-2,-1,0,1,2。 3,化簡後的aclf/(10°-1)興fe 但是,根據定理5,可知a+∫=b+ /(10°-1)的公分母不可能是7·11·13 C+d=9。結論:取a,b,C使 也不可能是33·.7·13·37。 得0<a,b,C<9,並且d=9-c, 合g是 abcde f/10°-1)與f-9+a-2c,e-18+b-4c+1h fedcba/(10-1)化筒後的公分母,那麼(=0,±1,±2)。請注意,a,b,c,d,e,∫選 0=7,13,11.37,7·13,33.11,327.32要滿足ab+cd+ef=99與 abcdef是 13等等,都是可能的人選。但是由(1)式可3·1137-10.989的倍數。這可以使a,b,c 知1/7不合我們的需求同理,1/13也不合的選擇範園更小。以下部份讀讀者自行處理。 需求。 例題8:決定所有的質數p,使得1/p的 因1031=3337,如果g與337互 循環小數表示鳥0.00 ab ccba。 質,那麼我們還可以利用定理5。(即,把循環 把0.00bcb化有理數,得1/p= 節分成兩段則前後段對應項之和焉9)。 abccba/(10-1)。因105-1=32·11 如果g劂好是7·13=91,则 abcde 73·101·137.而10 fedw典106-1的公因子G鶯3.1·37, 根據例題4,11與101的循環節分别是2與4; 並且它必須整除 abode f- fedcba=(a 因此,如果1/p恰有8位循環節,則p只能 f)(10-1)+(b-)1010-1)+(c-是73或137 d)1029=9.{(a-f)11116c):10 根據定理5.得c=9,b=9-a。故 11+(c-0103。可知3.1127必須整除abcb=a(105+1)+b104+1)+990 (a-f,111b-e)10111(c-d)102。899914+99932.11101(9+10) 所以11(a-f-c+d)應是3·37=111 因此,把 abccba/(103-1)化簡,得 的倍數,並且a-f-b-e+c-d應是1l(9a+10)/73·137。但是9a+10<137, 62數學傅播25卷3期民90年9月 可知9a+10=73.得證p=137且a=7. 1952 b=2.c=9。 4. C. F. Gauss. Disquistiones Arit hmeti 可見只有一個質數p,p=137,使得 cae, English transl. by A. A. Clarke /p是8位循環飾的循環小數,並且1/p是 Yale univ. Press. New haven. 1966 5. N. Jacobson. Basic algebra i. freeman 0.00 ab ccba的形式。 San francisco, 1974 仿照以上的討論,讀者請自行證明:若 6. M. Ram Murty. Artin's conjecture for m/n的循環節有6位,m/m=0.0bc,並 primitive roots, Math. Intelligencer 10 且m頂多有兩個質因數,證明m/m=5/91 NO.4(1988),5967 或4/143 7. M. R. Schroeder, Number theory in scicncc and communication, Sp Berlin. 1984 参考文獻 8.康明昌,神秘的數,中國時報」,1994年4月 1. A.h. Beiler. Recreations in the theor f numb.2nded, Dover publ.New9.康明昌,近世代數,聯經出版,台北,198 York,1966. 10.談鮮伯,初祩精紲結構常數,「科學雙月刊」, 2. J.H. Conway andR.K. Guv. The book 52卷第3期(2000),57-58 of numbers, Springer, New York, 1998 3. L. F. Dickson, History of the theory of numbers,Vol.1. Chelsea, New york.—本文作者任教於台灣大學數學系一

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