循環小數
康明昌
(一)
學過中學數學的人都知道如何把循環小
數化成有理數。 至於把有理數化成循環小數
更是小學生都會的題目。 例如,
1/7 = 0.142 857 . . . . . . (6位循環節),
1/13 = 0.076 923 . . . . . . (6位循環節),
1/17 = 0.0588 2352 9411 7647 . . . . . .
(16位循環節),
1/73 = 0.0136 9863 . . . . . . (8位循環節),
1/97 = 0.0103 0927 8350 5154 6391
7525 7731 9587 6288 6597
9381 4432 9896 9072 1649
4845 3608 2474 2268 0412
3711 3402 0618 5567 . . . . . .
(96位循環節), (1)
1/137 = 0.0072 9927 . . . . . . (8位循環節).
任給一個有理數, 例如 19/235, 它的循環節
究竟有幾位?
在 (1) 式中, 循 環節都是偶數位, 因此
我們可以把它分成前後兩段。 注意, 前段第 k
個數與後段第 k 個數的和恆為9。 以 1/7 為
例, 把循環 節分成142與857兩段, 結果: 1與
8, 4與 5, 2與7, 這些數的和都是 9。 這是 「偶
然」 還是 「必然」?
再看 1/7 的循環小數表示式,
1/7 = 0.
˙
142 85
˙
7, 2/7 = 0.
˙
285 71
˙
4,
3/7 = 0.
˙
428 57
˙
1, 4/7 = 0.
˙
571 42
˙
8,
5/7 = 0.
˙
714 28
˙
5, 6/7 = 0.
˙
857 14
˙
2,
把 1/7 的循環節142 857輪換排列: 如
果從 2出發, 得 285 714, 這是 2/7 的循環
節; 如果從4出發, 得428 571, 這是 3/7 的
循環節。 以下類推。
要說明以上的現象, 並不需要高深的數
學。 只要具備 「同餘」(congruence) 的概念
便足以揭破謎底。 偉大的數學家高斯 (Carl
F. Gauss, 1777∼1855 年 ) 在他的名著
「Disquisitiones Arithmeticae」([4, Arti-
cles 312∼318]) 就完整的討論過有理數的循
環節。 當代有名的數學家 John H. Conway
與 Richard K. Guy 在他們合著的書 「The
book of numbers」( [2, p.157∼171]) 也討
論過循環小數的性質。 即使到 1909年, 美國
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