### 相机模型与齐次坐标系统
#### 引言
本文主要介绍针孔相机模型以及齐次坐标在计算机视觉中的应用。相机模型是将三维世界映射到二维平面上的一种函数，通常用来模拟真实世界的物理相机的工作原理。相机模型可以根据其是否能够捕捉透视效果进行分类，透视效果即远处物体看起来比近处小的现象。本文首先介绍了齐次坐标系统的基础知识（§2），然后探讨了能够捕捉透视效果的一般相机模型（§3），最后研究了不能捕捉透视效果的简化模型（§4）。
#### 齐次坐标系统
齐次坐标提供了一种表示空间中点的新方法，这种表示方式广泛应用于计算机视觉领域，并且是处理除了最简单的相机模型之外所有模型的基础。在欧几里得坐标系中，一个点通过一个n维向量表示，该向量编码了如何利用标准基向量构建该点。而在齐次坐标系中，则使用一个(n+1)维向量来表示同一个点。齐次坐标与欧几里得坐标之间的转换可以通过以下公式表示：
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
w
\end{bmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
\frac{x_1}{w} \\
\frac{x_2}{w} \\
\vdots \\
\frac{x_n}{w}
\end{pmatrix}
\]
这里，方括号表示向量应被解释为一组齐次坐标；圆括号用于表示欧几里得坐标；当没有特定的解释意图时（例如形式化操作），则不使用括号。双向箭头符号表示这些向量表示的是空间中的同一点。
需要注意的是，齐次坐标过度参数化了空间。具体来说，如果我们将一个齐次向量乘以任何非零标量，所得到的结果仍然是代表同一个点的齐次坐标。这意味着齐次坐标系统中存在冗余。例如，齐次坐标向量 [1; 2; 1] 和 [2; 4; 2] 表示同一个点 (1, 2)，因为它们都是通过除以其最后一项（即w值）得到相同的欧几里得坐标。
齐次坐标的一个重要应用是在处理投影时保持数学上的连贯性。例如，在处理透视投影变换时，可以使用齐次坐标避免除以0的问题，从而确保投影变换在所有情况下都是定义良好的。这对于处理诸如相机模型这样的问题尤为重要，因为在现实世界中，相机可能会对无穷远处的对象进行成像，这就可能导致分母为0的情况。
#### 针孔相机模型
针孔相机模型是最基本的相机模型之一，它基于一个简单的原理：光线通过一个小孔进入一个暗箱，并在暗箱的另一侧形成一个倒立的图像。这个模型很好地模拟了真实世界中相机的工作原理，同时也能够捕获透视效果。
针孔相机模型可以用数学公式表示如下：
\[
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
u \\ v \\ 1
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
f & 0 & u_0 \\
0 & f & v_0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X_c \\
Y_c \\
Z_c
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
fX_c + u_0 \\
fY_c + v_0 \\
Z_c
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
其中，\( (u, v) \) 是图像平面上的像素坐标，\( (X_c, Y_c, Z_c) \) 是三维世界坐标系中的点，\( f \) 是焦距，\( (u_0, v_0) \) 是主点位置。
针孔相机模型的数学表示清晰地展示了如何将三维空间中的点映射到二维图像平面上。该模型假设所有的光线都经过一个小孔并汇聚到一个焦点上，这使得远距离的物体看起来比近距离的小，从而实现了透视效果的捕捉。
#### 结论
本文简要介绍了针孔相机模型及其背后的齐次坐标系统的基本概念。齐次坐标不仅为处理复杂的几何变换提供了便利，而且还是理解针孔相机模型等高级主题的关键。通过理解这些基础概念，读者可以更好地掌握相机模型在计算机视觉中的应用，为更深入的研究打下坚实的基础。
