非线性模型及其解法 最小二乘法
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2012-04-03
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1
在测量数据处理中，线性观测方程一般形式为：
iititiiii
bxbxbxbL
0221
...
(
ni ,...,2,1
)
其矩阵形式为：（此处 L 相当于 y y = x1*b1 + x2*b2 +… + xt*bt + b0 + E y 为可观测的随机变
量，x 为可观测的已知变量，E 为不可观测的随机误差项，b 为未知参数 y = f(x,θ ）+E--韦博
成近代非线性回归分析
0
BBXL
式中：
T
n
LLLL )..(
21
．
为
1n
的观测向量，
n
为观测向量的个数；X 为 t*1 的未知
参数向量；t 为 必 要观 测 的 个数 ；
T
n
BBBB )..(
002010
．
为
1n
的常数向量。
T
n
)..(
21
．
为
1n
的观测误差向量；B 为 n*t 的设计矩阵，即：
ntnn
t
t
bbb
bbb
bbb
B
...
::::
...
...
21
22221
11211
一般的 L 表示 n*1 的观测向量，用 X 表示 t*1 的未知参数向量，用
表示 n*1 的观测误差向
量，则非线性方程可写为：
)(XfL
（1）
式中，
T
n
XfXfXfXf ))(..)()(()(
21
．
，是由 n 个 X 的非线性函数组成的 n*1 的
向量，上述模型即为一般非线性模型。
为了推导公式方便，不失一般性，设 L 为同精度独立观测量。
关于模型（1）的参数估计，传统的方法是将其线性化，即将（1）式在参数的近似值 X0 出
展开为泰勒级数，并仅取至一次项，然后在应用新型模型参数估计理论进行参数估计。将非
线性模型（1）式线性化，因略去二阶以上各高次项，得到的仅含一次项的线性模型显然是
原模型的近似模型。因此，由于非线性近似后的线性模型是近似模型，所以线性近似必然会
产生模型误差。
非线性最小二乘估计的定义及存在性定理：
非线性模型（1）式相应的误差方程为：
LXfV )
ˆ
(
（2）
于是残差平方和为：
))
ˆ
(())
ˆ
(()
ˆ
(
2
2
LXfLXfLXfVVV
TT
（3）
测量中，观测值常常有不同精度，甚至有相关观测量，但根据等价观测理论，这些观测值都
可以变换为独立观测量，所以采用同精度观测讨论问题。
定义 1：
非线性模型（1）式中参数 X 的一个估计
X
ˆ
，若满足下列关系：
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