ch03-理想传输线基础

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《高级信号完整性技术》第三部分:ch03-理想传输线基础
42 Jason嚐書 高级信号完整性技术 在信号导线及传输线另一端的参考平面上施加一个电压时,将产生如24节所描述的电 场。电压可以通过对信号导线及参考平面间的电场的线性积分求得: b E d 如2.3.2节所述,一旦电场确定,磁场特性可用法拉第定律即式(2.1)]和安培定律[即 式(2.2)]来计算。通过23.2节,我们知道,电场和磁场间的关系始终是正交的: dEx aH、 de aH, ar 8 ar 既然施加电压会产生电场,而电压是用单位电荷来定义的,式(2.58)意味着在导线和参考平 面都应有电荷存在 W v(a) E. dI → 此外,高斯定理(V·8E=p)表明,sE的散度非零且等于 电荷密度,这意味着电场是由电荷产生的。这等于说,如果 电介质 电场突然消失,则是因为电荷消失了。为了便于理解电介 (区域1) 质与导体连接面电场的行为特征,我们用高斯定理的积分 导体 形式来计算边界条件 (区域2) EE·ds=pdv=Qac 首先,要选择一个积分面,之后比较导体和电介质连接面两 侧的E的法向分量。比较方便的是选择如图3.3所示的柱 图3.3用于计算电介质一导体连 接处边界条件的曲面 面。由于要计算表面电场的行为特征,圆柱的高(h)可以取 无穷小,并将式(2.59)简化为 gEd=中1E1d1+中:2E2:d2=(m:1E1A+(-nB2E2)A=PA(3.2) S 其中s1是区域1的介电常数,2是区域2的介电常数,而此处区域2是纯导体。回顾27.1节, 我们知道在纯导体中的电场(此处为E2)一定是零。对于电介质和导体的连接面,若令E2=0, 则式(3.2)可以简化为: n·EE=pC/m2 (3.3) 式(3.3)表明,电场的电场线从导体发出并回到导体。根据式(2.29)和式(2.30)的磁场和电 场一定是正交的原理,可以得到磁场与导体表面是正切的结论。通过这两个原理,很容易用 图形来表示纯导体传输线的电场和磁场的分布情况。电场的电场线始终与导体表面垂直,从 高电位导体发出,终止于低电位导体。绘制了电场分布图之后,可以画出磁场分布图。磁场 始终与电场正交,并与导体表面正切。如图3.4所示,假如信号线上施加正电压,我们可以 绘制出均匀电介质情况下各种传输线结构的电场与磁场分布图。 对于微带传输线来说,大多数情况下电介质是不均匀的,场线在穿过电介质边界时将会 Jason嚐書 第3章理想传输线基础 43 扭曲。图3.5表示了当上半部分介电常数小于下半部分时,电场线从法线到电介质边界的弯 曲情况。 电场 磁场 图3.4带状线(a)和微带线(b)在均匀电介质情况下的电场和磁场分布图 为了理解这种电场畸变,要先研究一下两种电介质交界处电场的行为。首先再回顾 式(3.2)中计算两个电介质层交界处电场的法向分量的边界条件: (n·E1E1)-(m·E2E2)=P 假设电介质层间表面电荷密度为零(通常是比较合理的假设),两个电介质区域电场之间的关系为: n·81E1=n·E2E2 (3.5) 式(3.5)表明,穿过电介质边界的电场法向分量是不连续的。 2.7.2节中讨论过,穿过电介质边界的电场的切向分量是连续的。对于静电场来说,可 以用法拉第定律的积分形式来表示这种连续性 d EdI=0 (3.6) 如果沿着包含了如图3.6所示的电介质边界的微分轮廓对式(3.6)进行积分,则可以计算出 电场的切向分量 EdI= EdI+E dI+ E di+E (3.7) 由于我们的研究目标是电场在边界表面(Δh-40)的行为特征,线段da和be可以删除。此外, 切线线段ab和cd相等且符号相反,这样,式(3.7)可以简化为: E1-E2)△l=0→E1t=E (3.8) 式(3.8)表明,穿过电介质边界的电场切向分量是连续的。 图3.5电介质边界处的电场行为 图3.6包括电介质边界的微分轮廓 44 Jason嚐書 高级信号完整性技术 假设电场E恰好在两个电介质层的边界上,如图3.7所示。穿过电介质边界的电通量 线方向上的变化,可以根据式(3.5)和式(3.8)推导的用于计算法向分量和切向分量的边界 条件来进行计算。当61=0时,使用式(3.5)的边界条件。这样,当电场处在电介质边界的法 向时,需要一个满足式(3.5)的61的函数。考虑到cos(0)=1,下式可以满足电场法向分量 的边界条件: 81 EI coS 01= E2, cos B2 (3.9) 同样,当θ1=90°时,使用式(3.8)的边界条件,而且由于sin(90°)=1,下式可以满足电场法 向分量的边界条件: El sin ei= e sin B, (3.10) 将由式(3.10)所得的E1代入式(3.9),发生在电介质边界上的电场线方向上的变化可以用 下式计算 02= arctan tan eI (3.11) 式(3.11)表明,场线在一个具有更高介电常数的电介质中将扭曲且偏离电介质边界法线 很远 2 E2E 图3.7电介质边界处电通量线方向上的变化 3.2.2电报方程 至此,我们主要讨论了电场和磁场的推导与计算方法。由于本书的主要对象是工程师, 我们将用电路理论来说明场的效应。电报方程就是用简化等效电路的方式来讨论电场和磁场 的特征。这极大地简化了分析工作,为工程师们理解传输线的行为特征提供了一个大名鼎鼎 的手法。 我们知道,传输线是一种引导平面电磁场波沿一个特定通道进行传播的结构,通过观察 232节所描述的平面波在TEM模式下z方向上传播的关系式来推导电报方程。首先矸究 下时变磁场将产生电场的式(2.29) dEr aH、 0 at 式(2.29)是电磁波在一个无限空间中传播的一般形式。事实上,电场和磁场被限定在一个由 Jason嚐書 第3章理想传输线基础 45 传输线几何尺寸决定的区域内。所以,式(2.29)可以通过计算等效电路参数来简化。首先用 式(3.1)来计算信号线和电场参考平面间的电位差,并假设点a在信号线上而点b在参考平 面上且在点a的正下方, 这样,对于给定几何尺寸的传输线来说,式(2.29)的左边可以等效为信号线和参考平面间电 位差对于z的偏微分: 8Exa∫E·dl_av(z.1) 0 同理,式(2.29)的右边与252节中讨论的电感有关。因B=uH且磁通量是B的函数, B. ds (其中,d由传输线的几何尺寸决定),可以用电流和电感(=l)按式(297)来表示磁 通量 这样,对于给定几何尺寸的传输线来说,式(2.29)右侧可以用电路参数来表征,其中L是单 位长度的传输线的电感的串联 0H1∫B,ds0ψ t at at ar 不能将aHy/a的单位为HA/m2(每平方米享利·安培)和L(oi/l)的单位为H·A/m混淆起 来。式(2.29)是用标准化的电场和磁场的形式表达的。若其中的场用电路参数来表示,则单 位将发生变化。这样,式(2.29)的等效电路方程是 au(z, t) di(z, t) L (3.12) az at 可以看到式(3.12)是电路理论中经典的电感响应方程。 同理,式(2.30)表明,时变电场将产生磁场 de ah are dt dz 式(2.30)左边分子部分(BE)的单位是F·V/m2(每平方米法拉·伏),意味着等效电路式应 该由电容和电压来构成。假设信号导体是无限薄的带状,由高斯积分式(2.59)可以计算出 式(2.30)左边的电荷表达式 QA EE·ds dV→E,A EE (3.13a) 其中4是体积。给定传输线的几何尺寸,导体上a点到参考平面b点间的电压可以由式(3.1)计 算,其单位是伏: E,·dl d=erd (3.13b) EA 46 Jason嚐書 高级信号完整性技术 其中A是导体上生成电场的面积,d是导体与参考平面间的距离。因此,考虑到Q=C Q CU b CEd o Ee E,·dl AA I 1→CU A A (3.14) 其中C以长度进行了标准化,单位是法拉/米。这样,对于给定传输线几何尺寸,式(2.30)的左边 可以用电容表示 de du (3.15 为了推导式(2.30)的右边,先回想一下式(2.79)中电流是每秒电荷流的速率的描述 do (3.16) 将Q=C代入式(3.16)可以得出用电压和电容表达的电流式,此式与式(3.15)相同: du (3,17) 因此,式(2.30)可以用电路参数重写为: di(z, t) du(z, t) C az ar (3.18) 可以看出,式(3.18)是电路理论中经典的电容响应方程。式(3.12)和式(3.18)是电报方程 的无损形式,描述了传输线的电气特征。 3.2.3无损传输线的等效电路 虽说信号完整性基本上是电磁场理论范畴的,但其中基本原理的应用都是用电路参数来 描述的,以利于大多数工程师们直观理解。因此,有必要推导出用单位长度上等效电感L和 电容C等电路参数来表示的传输线模型。本节将研究无损传输线电路的等效模型。该模型 将在第5章和第6章中细化,进一步讨论包含不良电介质和有限导通导体的损耗的情况。 首先,考虑一下图3.8所示的长度为△z的传输线的微分元件。它表示了信号导体和参 考平面导体中的一段。假设电流从信号导体上流过,由参考平面导体流回(电路理论中电流 是一个回路循环,有一个回流通道),传输线可以表示为若干徵分元件的串联,如图2.18所 示。若用一系列小的电流回路表示整体电流,则相邻电流分量中的垂直部分将互相抵消,只 剩下信号线上的△和参考平面上的△(-1)。正如式(2.97)所描述的,回路中电流的变化会 引起磁通量的变化,从而引起自感。所以,传输线的磁场在电路模型中可以表示为串联电 感。等效电路的电感值可以由下式计算 L△z=△zL (3.19) 其中Δz是传输线徵分区域的长度,而L是单位长度上的电感。 同理,如图3.8所示,当在信号导体和参考平面导体上给传输线施加电压(v=V+-V) 的时候,将产生电场,其单位为伏/米: b v(b)-v(a) 电场的存在表明导体上存在电荷,进而表明了电容的存在(如2.4.3节所述)。因此,传输线 Jason嚐書 第3章」理想传输线基础 47 的电场在电路模型中可以表示为并联电容。等效电路的电容值由式(3.20)给出 △zC (3.20) 其中Δz是传输线微分区域的长度,而C是单位长度上的电容 v+信号导体 4==--1 参考 ref 平面导体 图38一段传输线,标示了磁场和电场、辅助微分电流回路和各导体的电势 图3.9(a)表示了传输线微元的等效模型。但该模型的应用,需要一个实际的方案来表 示一个远长于△z的传输线。对于具有较长长度的传输线,只是简单地增加Δz的值来缩放电 感和电容的值,并不能得到一个合理的模型,除非LC电路的谐振频率远高于所仿真的最大 频率: 》∫ simulation (3.21) 2兀√C△zL△ 如果不能满足式(3.21),等效电路就将成为一个LC滤波器而不是传输线。传输线的等效电 路能表示为电感的串联和电容的并联,仅当LC的谐振频率远大于传输信号的最大频率。 建立长传输线模型时,缩放传输线模型的正确方法是级联足够多的小的LC段,直到总 长度达到要求,如图3.9(b)所示。每个LC段表示一个长为△z的传输线段。其中的关键是 选择恰当的Δz以提高模型的精度。如果Δz太小,将耗费极多的 SPICE仿真时间。但如果Δa 太大,模型则无法表现出实际传输线的特征。较好的“经验法则”是选择Δz,使每段的延迟大 约相等于时域状态下信号上升时间的1/10, trc △z≤ 10√Er (3.22a) 或者频域情况下最大相关频率相对应波长的1/10, Inax △z≤ (3.22b) 10 其中t是信号的上升时间,c是真空中的光速(3×105m/s),6是介电常数,Mm=/(fm√;)是 频域仿真时最大相关频率对应的波长。 时域仿真时,传输线的分布LC模型的分段数由下式决定: 108r (3.23a trc 城仿真时,分段数由下式决定 48 Jason嚐書 高级信号完整性技术 z 图3.9(a)传输线微分元件的模型;(b)整体模型 10l N、= (3.23b) f ma 其中N是用于建立长度为的传输线的最小分段数。从而,每个分段的电容和电感为 IC N (3.24a) L (3.24b) 其中C和L是单位长度上的电容和电感。 例3.1建立一个如图3.10(a)所示的长度为20cm的传输线模型。其中介电常数sn 4.5,单位长度上的电容和电感为 L=3.54×10H/n C=141×10-F/ 20 cm 信号导体 E=4.5 参考平面导体 100ps100ps 0.498nH 0. nH 0.498nH 0.198pF 0.198pF 0.198pF 图3.10传输线的等效电路 Jason嚐書 第3章理想传输线基础 解由于数字波形的上升和下降时间为100ps(t,=t=100ps),从式(3.22)和式(3.23) 可以求得模型中的两个参数: 100ps(3.0×103 1.41×10-3m 10√4.5 0.2 N=a2=141×103 141.8 141.8个等效电路分段是无法建立的,所以N四舍五入为142。每个分段的电容和电感由 式(3.24)来计算: 2)×(141×10-10 =1.98×10-13F 142 4÷(0.2)×(3.54×10 =498×10-0H 142 图3.10(b)表示了该传输线的等效电路 3.24LC等效波动方程 波动方程是分析传播电磁场的基础,在2.3.1节中已进行了推导。为分析电路参数化的 传输线,我们重新从式(3.12)和式(3.18)的电报方程推导波动方程,如下所示: du(.I di(z, t) L at di(z, t) C v(2,t) dz 假设数字信号可以用傅里叶变换分解成若干正弦谐波,电报方程可以表示为时谐波形式,这 样电压和电流式变成v(t)=Ve和i(t)=le。2.3.3节中讨论过时谐场的类似表达形式。 这样,电报方程的时谐形式为 dv(z) joLi(z) 的(3.25) di(z) - jCu(z) (3.26) d 对式(3.25)两边对z求偏微分,可以得到 d2(z) di(z L (3.27) dz dz 将式(3.26)代入式(3.27)可以得到仅含电压的方程,也就是无损传输线的电压波动方程: +aLCv(z 3.28) 式(3.28)是二阶微分方程,其通解为 U(x)=() e Javac +u(z)eJ (3.29) a(z)*ce/]项描述了电压沿传输线在+z方向上的传播,[v(z)e]则描述了-z方 向上的传播。式(3.29)与式(2.41)极其相似,是电场波动方程的等效解。2.3.4节中定义了 波在无限介质中传播的传导常数,完整描述了传播电磁波的介质

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