《计算方法引论》-徐翠微主编.

《计算方法引论》是由徐翠微主编的一本教材，主要涵盖了计算方法中的核心概念和技巧，特别是插值法这一重要主题。插值法在实际问题中应用广泛，尤其是在处理那些仅能获得离散数据点而无法直接获取解析表达式的函数时。本教材通过整理各章节的知识要点，帮助读者更好地理解和掌握计算方法的理论体系。 第二章重点讲述了插值法，包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。插值法的目的是找到一个简单的函数，即插值函数，它在给定的一系列点上与原函数值相等，从而近似替代原函数。当函数f(x)在区间[a, b]上无法直接表达或者表达式过于复杂时，我们可以通过插值法来逼近这个函数。 拉格朗日插值法是插值法的一种基础形式，其基本思想是通过构造n+1个插值基函数li(x)，使得这些基函数在插值节点xi上的值分别为1，而在其他节点上为0。例如，在线性插值中，我们有两点(x0, y0)和(x1, y1)，可以构造出线性插值多项式p1(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1。线性插值基函数l0(x)和l1(x)满足l0(x0) = 1，l0(x1) = 0，l1(x1) = 1，l1(x0) = 0，这样p1(x)就能在两个插值点上准确匹配函数值。通过这种方式，我们可以构建出任意次数的插值多项式，例如在二次插值中，需要满足三个点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的约束，构造出二次多项式L2(x)。 拉格朗日插值法的一个关键点是误差分析。如果插值函数L1(x)和被插函数f(x)在插值点上一致，并且f(x)的一阶导数连续，二阶导数存在，那么根据误差分析，存在ξ点使得插值误差可以表示为某个函数的最高次幂的余项，这通常与插值多项式的次数有关。误差分析有助于理解插值法的精度和适用范围。 牛顿插值法则是另一种插值方法，与拉格朗日插值法不同，它通过差商来构造插值多项式，这种方法在某些情况下可能更为简便，特别是在计算大量插值点时。不过，牛顿插值法的内容在提供的文件摘要中没有详细介绍。 总结起来，《计算方法引论》的第二章深入探讨了插值法的基本原理和应用，包括拉格朗日插值法的构造和误差分析，这些都是理解和应用计算方法的重要基础。通过学习这些内容，读者将能够解决实际问题中遇到的函数逼近问题，为后续的数值计算和数据分析打下坚实的基础。