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第四节 奈奎斯特稳定判据
2
一、辐角定理:
对于一个复变函数
式中-z
i
(i=1,2,…,m)为F(s)的零点, -p
j
(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
[柯西辐角原理]:S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线C
S
包
围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
线C
S
移动一周时,在F(s)平面上映射的封闭曲线C
F
将以顺时针方
向绕原点旋转N圈。N,Z,P的关系为:N=Z-P。
示意图
3
若N为正,表示C
F
顺时针运动,包围原点;
若N为0,表示C
F
顺时针运动,不包围原点;
若N为负,表示C
F
逆时针运动,包围原点。
函数F(s)是复变量s的单值函数,s可以在整个S平面上变化,对
于其上的每一点,除有限(n)个极点外,函数F(s)都有唯一的一个
值与之对应。
对于一个复变函数
[例]设:
4
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部
零点都映射到F(s)平面上的原点;S平面上的极点映射到F(s)平面
上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点
,映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。
注意,虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的,然
而逆过程往往并非如此。例如已知
这个函数在有限的S平面上除S=0,-1, - 2以外均解析,除此三
点外,S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点,但是
F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说
明方式就是将方程改写成
5
现考虑S平面上一点s
1
映射到F(s)平面上的点F(s
1
)可以用一个向量
来表示,即当
向量的幅值为
向量的相角为
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