模型参考自适应控制

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46自适应控制与预测控制 2ame(t)+2ey(t)y(t)k(t)+2k(t)k(o) (3-10) 如果令上式石边第二项与第三项的和为零,即 (D)y(t)k(t)-2k(t)k(t)n 也就是 k(t) ey()y(1),t≥0 (3-11) 于是式(3-9)变为 V=-2ame(t)≤0 (3-12) 式(3-11)就是所求的自适应规律。式(3-12)表明,V是一个单调下降的函数,即 V[ey(t),k(t)]<V[ey(0),k(0)] 事实上,式(3-8)显示误差e3(t)和k(t)是处在以e3(t)和k(1)/A为轴,圆心在原点,半径 为√V[e,(0),k(0)的圆内,所以误差是有界的。此外,由式(3-12)得关于能量误差,有 e(t)dt= 2an ivey(o),k(o)]-Vle(oo).kc 由 Barbalat定理推理(木书在后面的3.3节中有陈述)知,lime(t)=0。因此,尽管被控 对象参数αρ不确定,经由自适应规律式(3-11)更新的自适应控制器式(3-6)仍能实现理想 的跟踪性能 )-ym(t)]=0 直接自适应控制系统的结构如图3-1所示。其中,长形框中有“×”的块为乘法器。 k() 图3-1直接自适应控制系统结构图 式(3-8)表示的函数叫李雅普诺夫函数( Lyapunov function),它的选取不是唯一的 由该函数不仅可以推出控制器参数的自适应更新规律,而且还确保了系统运行的稳定性,所 以称该设计方法为李雅普诺夫法 2.梯度设计法举例 例3.2设有被控对象式(3-1),仍采用参考模型式(3-2)和控制器结构式(3-6),引入 滤波信号 (t) 式中,((1)表示传递函数为1输入信号为y(t)的系统输出 第3章模型参考自适应控制47 根据式(3-7)和上式,可有 e()s+an[k(1)y(t)-ky(1)]=~1 k(t)y(t)k 5(t) (3-13) 式中用到k(t)=k(t)一k。 定义佔计误差为 t) (t) a k(t)y(t)k(5o 由式(3-13)和上式有 (t)=k(t)(t) (3-14) 于是可以看到,当k(t)=k时 现给出规范化的性能指标凶数为 J(k) 式中,m=√1+(t)为规范化信号。 按优化理论,k变化使J(k)极小的方向应按负梯度确定,即 (t)8(1) ak 所以,取控制器参数k的自适应规律为 i()--2e(0)(t) (3-15) 式中,λ>0为步距,也可以称其为自适应增益。 余下的问题是讨论有关量的有界性,以及 li (t) (t)] 事实上,若引入函数 V(k)=入1k λ的含义同前,且入>0。对时间求导 dt ak (t)=2A1k(t)k(t) 选取k(t)的自适应规律为式(3-15),则上式为 (t) 这表明V(k)作为t的函数不增加,当ε(t)≠0时它单调下降,也就是k(t)(k(t)=k+k*) 是有界的,进而由式(3-14)知() mD有界,再由式(315)和5( m(D)的有界性知()是有界的, 从而 k (t)dt< 同样,由 Barbalat推理知,当t→∞时,k=0,于是k=k“,即k=0,再由式(3-13)和滤波 信号知,ey=y-ym=0,这正是其控制目标 48自适应控制与预测控制 从李雅普诺夫设计法和梯度设计法来看,控制器式(3-6)中的控制器参数k(t),是分别 由控制器参数自适应更新规律式(3-11)和式(3-15)直接获得的,所以称作直接自适应控制 3.1.2间接自适应控制 在间接自适应控制设计中,首先对被控对象未知参数进行估计,然后用此估计值从代数 方程中计算控制器参数。下面仍用梯度设计法来进行叙述。 例3.3设有被控对象式(3-1),仍采用参考模型式(3-2)和控制器结构式(3-6)。设 anp(t)是未知对象参数ap的估计值,式(3-6)中的k(t)为 (3-16) 为了产生参数估计ap(t),选择一个稳定的滤波器 式中a>0。于是式(3-1)可 写为 y=ary+ cartap)y+ 进一步写为 f ap y(t)+ (t)=0;c(t)+ (t) 式中,O=a+ap,g(t) +ay()。 设O2(t)是未知参数Op的估计值,则 Op=art (3-18) 引入估计误差为 (t)=0,(t)g(t)+-1-an(t)-y(t) 由式(3-17)和上式有 (t)=,(t)q(t) 式中,Op=01(1)-02=ap 取与前面相似的性能指标函数,用类似的方法,选θ(t)自适应规律为 0n(t) he(to(t) (3-19) 式中,步距A>0;m(t)=√1+g1(t)。 考虑参数误差θ,函数 V(0,)=入(0 对时间求导,则 2(t) 与前面类似的分析得出结果:0(t)有界 E(t) (t) 和O(t)也有界,且 由 Barbalat推理知,t→∞时,0=0,从而b,=0。从式(3-19)的特性知,y(t)和a(t)有界 第3章模型参考自适应控制49 并且 limEy(t)-ym(t)]=0 有了0(1),即有了a1(t)(a(t)=0(t)-a1),由式(3-16)计算k(t),再由式(3-6)可求出 控制量u(t)。 这里控制器参数k(t)是通过θ(t)和ap(t),并经式(3-16)计算获得的,所以称作间接自 适应控制。 3.2用梯度法设计自适应控制系统 模型参考自适应控制系统的设计关键是可调参数的自适应规律。如前所述,设计这种 自适应规律的方法一般有梯度法和稳定理论法,本节讨论梯度法。梯度法属于一种局部参 数最优化方法,类似的方法还有牛顿-拉夫逊法、共轭梯度法、变尺度法等。由于梯度法算 法简捷,实践中用得最多。 最早被创建,并且后来被许多人采用的自适应控制规律是MI规律。该规律因首先在 美国麻省理工学院( Massachusetts Institute of technology,MIT)的一个仪表实验室中产 生而得名21 3.2.1MIT控制规律 设有被控对象或过程 式中,k为增益,未知或慢时变;G(s)为已知的传递函数,是稳定的。 现在的任务有两条:一是根据参考输入和控制要求,选取一个参考模型,并使其输出达 到期望的特性;二是设计一个控制器的控制规律,使它与被控对象构成的可调系统,能使输 出接近并最终达到参考模型的输出 显然,参考模型可取 式中,k。是使模型输出达到期望状态的增益 控制器的设计根据被控对象与参考模型结构相匹配的原则进行,设计为一个可调增益 k(扌),整个系统的结构图如图3-2所示。图中,νm和ν分别为参考模型输出和对象输出, “?”为待确定符号。 kmG(s) k RpG(s) [? 图3-2系统结构框图 当参考模型与可调系统完全匹配时,有y=ym,并且 km=kpk 50自适应控制与预测控制 式中,k。为匹配时k的取值。现在的问题是如何确定k。(t)的调节规律 为叙述方便起见,这里定义另一个输出误差 t (320) 取性能指标函数为 (k) k(t)的变化方向应使J在参数空间下降最快的方向上,即负梯度方向( Negative gradient Direction Ok。 (3-21) de ak 式中,>0为调整步长。2y为敏感导数( Sensitivity derivative) 关于输出误差,由图3-2得 E(S)=(km-kckpG(syr(s) 相应的时域表达式为 (t)=(km-kkuG(p)y( (3-22) 式中,p 下面求敏感导数。由于 ym=kmG(p)y(t) kckpg(p)y (3-23) 所以 k ym k (3-24) k 两边对k。求偏导,得 将此式代入式(3-21),有 dk (3-25) 式中,p=入/km为自适应增益( Adaptive gain) 式(325)称为MIT控制规律,其自适应控制系统结构如图33所示 kG(s) k l kp G(s 图3-3自适应控制系统结构图 第3章模型参考自适应控制51 从式(3-25)可以看出,中的λ和km设定后,将为常数,当输入y为恒值时,ym的稳 定值也为恒值,所以k(t)将根据e(t)的变化而产生调整作用,作用方向是使e(t)变小,直至 为零。 以上参数控制规律的推演过程并没有考虑系统的稳定性问题,由于设计人员的随意性 和控制要求及输入信号的多样性,设计岀来的自适应控制系统还必须进行稳定性校验。卜 面看一个例子。 例3.4设有稳定的被控对象 k kpG()=—2 a252+a15+ 式中,k未知,输入为阶跃信号,幅度为r,即y-=r,试研究采用MIT控制规律后,系统的稳 定情况。 解:根据被控对象,参考模型的输出为 (s) + 稳态输出为 (t)=k 由式(3-22)知,输出误差的微分方程为 +aie+e=lkm-kpk(t 两边对t求导,有 le te=-kprk(t 将式(3-25)代入上式,有 tanete+kpukmr e=o 由 Hurwitz稳定判据知,当a1/a2> kpmg1时,系统才是稳定的。若r过大,或P选得 过大,均容易使上述不等式不成立,从而导致系统不能稳定工作。 3.2.2MIT的规范化算法 从上面的例子可以看出,过大的输入幅度和过大的自适应增益均可能使系统不稳定,所 以有必要对这个问题作进一步研究。 由式(3-25)知,k(t)与e(t)联系密切,又由式(3-20)知c(t)与y(t)直接有关,所以对 k()特性的研究是间接地对y(t)进行研究。 将式(3-20)代入式(3-25),并考虑式(3-23),有 dk +uymLkp G(p)y, k (3-26) 式中,p=d/dt。 式(3-26)描述了控制器参数的变化规律。其中,yn可看作是已知的时间函数。如果 G(s)是一个有理函数,式(3-26)就是一个线性时变的微分方程。很难获得控制参数随时间 变化的解析解,更不用说知道自适应增益如何影响参数特性 为了清楚地掌握k(t)的动态特性,不妨假设:k()开始是一个常数,自适应机构不与 控制器相连,施加恒定的输入信号y。当系统进入稳态之后,再接入自适应机构,于是控制 52自适应控制与预测控制 参数的特性由下列方程描述 dt +pymy[kG(p)]k。 式中,ν是模型稳态输出;y:o是恒值输亼信号的幅值 这是一个线性时不变系统,微分方程的系数是恒定的,其稳定性可由下列代数方程来确 定,有 G(s)=0 (3-27) 式中 u= uy mo yrok (3-28) 由于G(s)原来设定是稳定的,所以k。的特性由μ来确定,甚至可以画出零点随变化 的轨迹图来 如果式(327)有零点在s平面右半部,控制器工作将会不稳定,从而整个系统工作不 稳定。 例3.5已知 +aist 将其代入式(3-27)有 +a12+a+g=0 如果 所有的根将在s左半平面 由式(3-28)知,和yn均与p有关,所以P的选择不仅要以式(3-27)为基础,而且要考 虑输入幅值的大小 当μ选定以后,对某些幅值较小的输入υ,系统工作可能是稳定的,但对某些幅值较大 的输入y,系统工作可能不稳定。对较小幅值的νω,系统响应速度可能较慢;对较大幅值 的yo,响应可能较快 这些清楚地表明:自适应增益的选择,依赖于输λ信号的幅度;输入信号的幅度影响 着系统的特性。 为了改变这一现象,对MIT控制规律做如下的修改,将 dt 修改为 dk。 ey (3-29) a+ 式中,a>0,为避免(kym/km)较小时出现上式右端过大而引入的。 式(3-29)称为MIT的规范化算法。根据式(3-29),用同样的分析,式(3-27)将变为 k gcs)= o a+(yuo 第3章模型参考自适应控制53 从上式知,由于ym0正比于y。,所以方程的根不会因输人幅度变化而改变许多。 MIT控制原理明了,结构简单,工程上易于实现,因此近期仍有应用。但是,它也存在 一些问题:设计出的白适应控制系统不能保证其闭环系统的稳定性,需要进行稳定性检验。 此外,仅调整增益只能在较小范围内改变系统的动态性能,如果需要对系统进行较大的校 正,一般难以实现,所以该设计方法的应用范围有限 3.3李雅普诺夫稳定性与正实函数 针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的冋题,有人提岀基于李 雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统,如 Butchart(1965年)、 Parks(1966年)。 所以,有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理,作为后续学习内容的准备知识 3.3.1李雅普诺夫稳定性理论概要 响应运动稳定性可分为基于输入输岀描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳 定性。外部稳定性是一种零初始条件下的有界输亼或冇界输岀稳定性。内部稳定性是零输 入条件下自治系统状态运动的稳定性,等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。外部稳定 性与内部稳定性之间有十分紧密的联系,一般说來,内部稳定性决定外部稳定性 1892年,李雅普诺夫(A.M. Lyapunovⅴ)提出了运动稳定性的一般理论,即稳定性分析 的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒 展开,导出一次近似线性化系统,再根据线性系统特征值在复平面上的分布推断非线性系统 在邻域内的稳定性;第二方法引人具有广义能量属性的李雅普诺夫函数,并分析其函数的 定号性,建立判断系统稳定性的相应结论。它在1960年前后被引入控制理论界,并很快成 为研究系统稳定性的主要工具,本节介绍李雅普诺大第二方法 设自治系统状态方程为 i=f(x,t),x(to)=x0,t∈[t,∞) (3-30) 其解为 x 式中,x为系统初始条件;to为初始时刻;x为状态向量。 如果系统某一状态对所有时刻均满足 则称状态x为式(3-30)所示系统的平衡状态。 定义3-1如果对任意一个实数ε>0,均对应存在另一个依赖于ε和to的实数δ(ε,t 0,使满足以下不等式 xox。‖≤o(e,to) 的仟一初始状态x。出发的所有解●(t,x0,t0)都满足 ◆(t,x0,t0)-x。‖≤ 3-31) 则称式(3-30)表示的系统平衡状态x=0在时刻t时为李雅普诺夫意义下的稳定。 如果δ>0与t无关,则称为李雅普诺大意义下一致稳定( Uniform Stability)。 几何意义:初始状态κ不越出平衡状态κ的邻域δ,相应解◆(t,x,to)不越出平衡状

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