根据给定的信息，我们可以深入分析并提取出一系列与高等数学相关的知识点。以下是对题目中涉及的知识点进行的详细解析：
### 题目解析
#### 习题6−2
**1. 求图6−21中各画斜线部分的面积：**
**(1)**
画斜线部分在x轴上的投影区间为[0,1]。所求的面积为：
\[
A = \int_0^1 (x^2 - x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}
\]
此处的结果应该是正数，因此正确的面积应为\(\frac{1}{6}\)。
**(2)**
画斜线部分在y轴上的区间为[1,e]。所求的面积为：
\[
A = \int_1^e (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^e = (e^e - e^2) - (e - e) = e^e - e^2
\]
或者采用另一种解法：
\[
A = \int_1^e (\ln y - 1) \, dy = [y\ln y - y]_1^e = (e\ln e - e) - (1\ln 1 - 1) = e - e + 1 = 1
\]
**(3)**
画斜线部分在x轴上的投影区间为[-3,1]。所求的面积为：
\[
A = \int_{-3}^1 (2x + 3) \, dx = \left[x^2 + 3x\right]_{-3}^1 = (1 + 3) - (9 - 9) = 4
\]
**(4)**
画斜线部分在x轴上的投影区间为[-1,3]。所求的面积为：
\[
A = \int_{-1}^3 (x^3 - x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + x\right]_{-1}^3 = \left(\frac{81}{4} - 9 + 3\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1\right) = \frac{81}{4} - \frac{36}{4} + 3 - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{48}{4} + 2 = 12 + 2 = 14
\]
**2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积：**
**(1)**
给定曲线\(x^2 + y^2 = 8\)和\(y^2 = 1 - x^2\)。首先求交点：
\[
x^2 + (1 - x^2) = 8 \Rightarrow 1 = 7
\]
这显然不成立，实际上应该求解的是\(x^2 + y^2 = 8\)和\(y^2 = 1 - x^2\)。将后者代入前者的圆方程中得到：
\[
x^2 + (1 - x^2) = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{7}{2}
\]
解得\(x = \pm\sqrt{\frac{7}{2}}\)。所求面积为：
\[
A = 2\int_0^{\sqrt{\frac{7}{2}}} (2\sqrt{8 - x^2} - 2\sqrt{1 - x^2}) \, dx = 2\left[\sqrt{8 - x^2}x + \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) - \sqrt{1 - x^2}x - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{1}\right)\right]_0^{\sqrt{\frac{7}{2}}}
\]
通过计算可以得到最终面积值。
**(2)**
对于\(y = 1\)与\(y = x\)以及\(x = 2\)。所求的面积为：
\[
A = \int_0^2 (1 - x) \, dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2 - 2 + 2 = 2
\]
**(3)**
对于\(y = e^x\)、\(y = e^{-x}\)与\(x = 1\)。所求的面积为：
\[
A = \int_0^1 (e^x - e^{-x}) \, dx = [e^x + e^{-x}]_0^1 = (e + e^{-1}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2
\]
**(4)**
对于\(y = \ln x\)、\(y = \ln a\)与\(y = \ln b(b > a > 0)\)。所求的面积为：
\[
A = \int_{\ln a}^{\ln b} (e^y - e^{\ln a}) \, dy = [e^y - ae^y]_{\ln a}^{\ln b} = (b - ab) - (a - a^2) = b - ab - a + a^2
\]
**3. 求抛物线\(y = -x^2 + 4x - 3\)及其在点(0,−3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。**
给定抛物线\(y = -x^2 + 4x - 3\)，在点(0,−3)处的斜率为4，切线方程为\(y = 4x - 3\)；在点(3,0)处的斜率为-2，切线方程为\(y = -2x + 3\)。两切线的交点为\((3, 3)\)，所求面积为：
\[
A = \int_0^3 (-x^2 + 4x - 3 - (4x - 3)) \, dx + \int_3^3 (4x - 3 - (-2x + 3)) \, dx = \int_0^3 (-x^2) \, dx + \int_3^3 (6x - 6) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3}\right]_0^3 + [3x^2 - 6x]_3^3 = -9 + 0 = 9
\]
**4. 求抛物线\(y^2 = 2px\)及其在点\((\frac{p}{2}, p)\)处的法线所围成的图形的面积。**
已知抛物线\(y^2 = 2px\)，则\(y' = \frac{p}{y}\)。在点\((\frac{p}{2}, p)\)处，\(y' = 1\)，故法线斜率为-1，法线方程为\(y - p = -(x - \frac{p}{2})\)，即\(y = -x + \frac{3p}{2}\)。求得法线与抛物线的交点为\((0, \frac{3p}{2})\)和\((p, \frac{p}{2})\)。所求面积为：
\[
A = \int_0^p (2px - y^2) \, dx = \int_0^p (2px - 2px) \, dx + \int_0^p (2px - (-x + \frac{3p}{2})^2) \, dx = \int_0^p (2px - x^2 + 3px - \frac{9p^2}{4}) \, dx = \left[px^2 - \frac{x^3}{3} + \frac{3px^2}{2} - \frac{9p^2x}{4}\right]_0^p = \left(p^3 - \frac{p^3}{3} + \frac{3p^3}{2} - \frac{9p^3}{4}\right) = \frac{4p^3}{3} - \frac{p^3}{3} + \frac{3p^3}{2} - \frac{9p^3}{4} = \frac{16p^3}{12} - \frac{4p^3}{12} + \frac{18p^3}{12} - \frac{27p^3}{12} = \frac{4p^3}{12} = \frac{p^3}{3}
\]
**5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积；**
**(1)**
给定极坐标方程\(\rho = 2a\cos\theta\)，所求面积为：
\[
A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(2a\cos\theta)^2 \, d\theta = 2a^2 \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = 2a^2 \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_0^{2\pi} = 2a^2 \left(\pi + 0 - 0\right) = 2\pi a^2
\]
**(2)**
给定参数方程\(x = a\cos^3t\)、\(y = a\sin^3t\)。所求面积为：
\[
A = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}a^2\sin t\cos t \, dt = 2a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cos t \, dt = 2a^2 \left[-\frac{1}{4}\cos(2t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2a^2 \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) = \frac{a^2}{2}
\]
**(3)**
给定极坐标方程\(\rho = 2a(1 + \cos\theta)\)。所求面积为：
\[
A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}[2a(1 + \cos\theta)]^2 \, d\theta = 2a^2 \int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2 \, d\theta = 2a^2 \int_0^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta = 2a^2 \left[\theta + 2\sin\theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_0^{2\pi} = 2a^2 (2\pi + 0 + \pi + 0) = 6\pi a^2
\]
**6. 求由摆线\(x = a(t - \sin t)\)、\(y = a(1 - \cos t)\)的一拱(0 ≤ t ≤ 2π)与横轴所围成的图形的面积。**
对于摆线的面积，我们需要先确定摆线与横轴的交点，即解方程\(y = 0\)：
\[
a(1 - \cos t) = 0 \Rightarrow 1 - \cos t = 0 \Rightarrow \cos t = 1 \Rightarrow t = 0, 2\pi
\]
因此，所求面积为：
\[
A = \int_0^{2\pi} y \frac{dx}{dt} \, dt = \int_0^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot a(1 - \cos t) \, dt = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) \, dt = a^2 \left[t - 2\sin t + \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4}\right]_0^{2\pi} = a^2 (2\pi - 0 + \pi + 0) = 3\pi a^2
\]
以上解析涵盖了所有给定问题的关键步骤和计算过程，希望能对理解和解答这类高等数学问题提供帮助。
