### 抛物型偏微分方程的变步长显式差分解法
#### 摘要
本文提出了一种求解抛物型偏微分方程的新方法——变步长显式差分解法，并对其收敛性和稳定性进行了证明。与传统的显式差分方法相比，该方法具有更大的稳定时间步长，从而能够在一定程度上克服由于时间步长过小导致的隐式格式优势无法充分发挥的问题。此方法通过循环采用不同的步长进行计算，在确保计算精度的同时提高了计算效率。
#### 关键词
- 偏微分方程
- 抛物型方程
- 显式差分格式
- 变步长
- 收敛性
- 稳定性
#### 引言
在解决抛物型偏微分方程的数值问题时，通常会遇到一个问题：为了满足截断误差小于特定阈值的要求，需要选择较小的时间步长，这可能会限制隐式格式在稳定性方面的优势。在这种情况下，采用计算量较小的显式格式是比较合适的。然而，传统的显式格式存在稳定性较差的问题，即时间步长的选择受到严格限制。因此，研究如何提高显式格式的稳定时间步长显得尤为重要。
#### 记号和引理
在本节中，我们首先定义了一些基本的记号，并给出了后续分析中需要用到的一些关键引理。
**问题描述**：考虑如下抛物型偏微分方程问题：
\[
\begin{aligned}
& u_t = au_{xx}, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < t \leq T \\
& u(0,t) = u(1,t) = 0, \quad 0 \leq t \leq T \\
& u(x,0) = f(x), \quad 0 \leq x \leq 1
\end{aligned}
\]
其中 \(u(x,t)\) 是待求解的函数，\(a\) 是常数。
**离散化**：将上述连续问题离散化得到差分格式：
\[
\begin{aligned}
& \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = a \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2}, \quad j = 1, 2, \ldots, N-1 \\
& u_0^n = u_N^n = 0, \quad n = 0, 1, 2, \ldots
\end{aligned}
\]
其中 \(\Delta t\) 和 \(\Delta x\) 分别表示时间步长和空间步长。
**引理1**：矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_j = 1 - 4a \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \sin^2 \left(\frac{j\pi}{2N}\right)\)，其中 \(j = 1, 2, \ldots, N-1\)。
**引理2**：显式差分格式（如上所述）稳定的充分必要条件是 \(\Delta t < \frac{(\Delta x)^2}{2a}\)。
**引理3**：介绍了切比雪夫多项式的性质及其在求解问题中的应用。
#### 2. 变步长显式差分格式
为了提高显式格式的稳定性，文中提出了使用多个不同的时间步长 (\(r_1, r_2, \ldots, r_m\)) 的变步长显式差分格式。具体步骤如下：
1. **初始化**：设定初始条件 \(u_j^0 = f(j\Delta x)\)，\(j = 0, 1, \ldots, N\)。
2. **循环计算**：在每个循环步骤中，依次使用不同的时间步长 \(r_1, r_2, \ldots, r_m\) 进行计算。
\[
\begin{aligned}
& u_j^{1} = A(r_1) u_j^{0}, \quad j = 1, 2, \ldots, N-1 \\
& u_j^{2} = A(r_2) u_j^{1}, \quad j = 1, 2, \ldots, N-1 \\
& \vdots \\
& u_j^{m+1} = A(r_m) u_j^{m}, \quad j = 1, 2, \ldots, N-1
\end{aligned}
\]
3. **重复步骤2** 直至达到最终时刻 \(T\)。
**定理1**：矩阵 \(B = A(r_1) \cdot A(r_2) \cdots A(r_m)\) 的特征值为 \(\beta_j = \prod_{k=1}^{m} \left(1 - 4a \frac{r_k}{(\Delta x)^2} \sin^2 \left(\frac{j\pi}{2N}\right)\right)\)，其中 \(j = 1, 2, \ldots, N-1\)。
#### 结论
本文提出了一种新的变步长显式差分格式，用于解决抛物型偏微分方程的数值求解问题。该方法能够有效地提高显式格式的稳定时间步长，从而在一定程度上解决了传统显式格式存在的稳定性问题。此外，通过引入多个不同的时间步长，不仅能够提高计算效率，还能确保解的准确性和稳定性。这种方法为抛物型偏微分方程的数值求解提供了一个新的视角和有效的解决方案。
