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板壳单元有限元理论推导
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2018-07-19
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内含板壳单元的有限元理论推导,包括板壳的膜效应,弯曲及横向剪切。弯曲理论为mindlin板理论,其中膜效应包含具体的实例
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等参元
在实际问题中,四边形单元往往比矩形单元更实用,且同时比三角形单元精度高。特
别是对于一些复杂的几何边界,只能采用一些不规整单元。但直接对这些不规整单元进行
研究是比较困难的,因为积分域的形状不规则,就不能直接使用高斯积分法进行积分。如
果能把四边形单元映射到自然坐标系,将不规整单元变为正方形,就能使用矩形单元的形
函数和积分方法。这种用几何规整单元(如三角形单元、矩形单元、正六面体单元)映射
的几何不规整单元叫做参数单元。
以平面问题为例,对于两个坐标系
( , )xy
和
( , )
,要实现物理坐标系和自然坐
标系下单元刚度矩阵的变换或映射,必须计算两个坐标系之间的三种映射关系,即:
坐标映射
( , ) ( , )xy
偏导数映射
xy
, ,
面积(体积)映射
d d d d
ee
AA
xy
以平面问题为例,有如下两个坐标系:物理坐标系
( , )xy
和自然坐标系
( , )
,
其中物理坐标系下的任意四边形单元映射到自然坐标系下,就变为规则的矩形单元。
通过这种方法,可将已有的单元应用范围大大扩大。
(a) 物理坐标系 (b) 自然坐标系
1)两坐标系下的坐标映射
两坐标系下的映射关系为
y
x
44
4( , )x y
33
3( , )x y
22
2( , )x y
11
1( , )x y
4( 11, )
3(+1, 1)
2(+1, 1)
1( 1 1, )
()
()
,
,
xx
yy
物理坐标系下四边形的四个节点分别映射自然坐标系下矩形的四个节点,将四
对节点映射关系代入上式,得到:
()
1, 2,3,
()
,
4
,
i i i
i i i
xx
i
yy
其中
x
和
y
方向可以分别写出各包含有 4 个待定系数的多项式,即:
0 1 2 3
0 1 2 3
()
(
,
, )
xa
yb
a a a
b b b
根据单元的映射方程组求解
03
,,a a
和
03
,,bb
,整理单元的映射函数,可得
到与下式完全相同的形式
4
1
4
1
(),
),(
ii
i
ii
i
x N x
y N y
其中
1
(1 )(1 ) 1, 2,3,4
4
i i i
Ni
该单元在物理坐标系下的节点坐标为
1 1 2 2 3 3 4 4
[]
T
x y x y x y x yq
则由自然坐标系到物理坐标系下的坐标映射可由下式实现:
231
3411
4
0 0 0 0
()
0
)
,
0
,
00
(
N N N N
x
N N N N
y
x q N q
2)两坐标系下的偏导数映射
对物理坐标系下的任意一个函数
( , )xy
,对其求偏导数,有:
xy
xy
xy
xy
对应的偏导数变换关系为:
xy
xy
x
y
y
x
对应的矩阵形式为:
x
y
J
其中
J
称为雅可比矩阵,具体形式如下:
xy
xy
J
由雅可比矩阵可得到自然坐标系到物理坐标系下的偏导数映射,如下:
1
1
=
yy
x
xx
y
J
J
其中
=
x y y x
J
3)两坐标系下的面积(体积)映射
物理坐标系
( , )xy
下,由
dξ
和
dη
所围成的微小平行四边形,其面积为
d ddA ξ η
dξ
和
dη
在物理坐标系下的分量为:
d d d
d d d
xy
xy
ξ ij
η ij
其中
i
和
j
为物理坐标系下的单位向量。由上式可重写面积映射公式为
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资源评论
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- 啊看看2023-07-27作者在论述板壳单元有限元理论时语言质朴,易于理解,让人能够从中获得实际应用的指导。
- 老许的花开2023-07-27这篇文件提供了关于板壳单元有限元理论的深入推导,准确而实用。
鸭子听雷
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