郑州大学随机信号处理大作业 附程序

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郑州大学随机信号处理大作业 附程序, Yule-Walker法、Burg法、协方差法进行AR模型的功率谱估计。楼主拿了90+、4.0。
1.引 1.引言 功率谱佔计是分析、了解信号所含有用信息的工具,也是信 号内在本质的也一种表现形式,功率谱密度(PSD)两数描述了随 机过程的功率随频礻的分布。其评价指标包括客观度量和统计度 量,谱分辨率特性是客观度量中的重要指标,而统计度量指标则 包括方差、均方误差等。 在频谱分析中主要包含两大类方法:古典谱估计和现代谱估 计。占典谱估计包括周期图估计法和相关法,它们都以傅里叶分 析为理论基础,计算相刈较为简单,但主要存在着分辨率低和性 能不好等问题。现代谱估计采用参数模型化的谱估计方法,通过 构造合适的系统模型,将要分析的随机信号用模型的参数来表示, 将其过程化为某系统在白噪声激劢下的输岀。常用的纯连续谱的 平稳随杋信号模型是有理分式模型,方法主要包括最大熵谱佔计、 AR模型法、MA模型法、ARMA模型法和最大似然法等,其中AR 模型用得较多。在线性估计方法大多是有偏的谱估计方法,谱分 辨率随数据长度的增加而提高。而非线性谱估计方法大多是无偏 的谱估计方法,通常可以获得高的谱分辨率。 本次实验主要利用了经典法中的周期图法和相关法、求解 Yule-Walker方程法、 Levinsη- durbin快速算法以及Bug算法实现 了对信号的功率谱估计。 2.实验原理 2.实验原理 21古典谱估计 相关法谱估计是以相关函数为媒介米计算功率谱,又叫做间接法 它的理论基础是维纳-辛钦定理,其具体实现步骤如下: 第一步,由获得的N点数据构成的有限长序列xn(n)来估计自相关 哟数,即:f(x) N一1 NAn=0AN(nXN(n+ m) 第二步,由自相关函数的傅里叶变换求功率谱,即Sx(el" 1=-(M-1) Rx(me/wi 以上两步经历了两次截断第一次是估计RX(m)时仅利用了x(n)的 N个观测值,这相当于对ⅹn)加矩形窗截断。该窗是加在数据上的, 般称为加数据窗另一次是估计Sx(e)时仅利用了从-(M1)到M-1)的 Rx(m这相当于对Rx(m加矩形窗截断将Rx(m)截成(2M1)长,这称为 加延时窗式中RX(m)和分别表示对它们和的估值由于M<N使得上 式的运算量不是很大因此在FFT问世之前,相关法是最常用的谱估计 方法。相关法谱估计的运算框图为: 快速相关 加窗截断 进行FFT 输出 矩形窗截断 除此之外,周期图法也可运用于占典谱估计。 首先,由获得的N点数据构成的有限长序列X(n)直接求傅里叶 变换,求得频谱X(e/w 2.实验原理 然后取频普幅度的平方,并除以N,以此作为对x(n)真实功率谱x(e) 的估计,即Sx(em)=3x(em)2。 用框图表示周期图法的具体实现过程如下 矩形窗截断 相乘 N点FFT (e 事实上,两种经典法的差异主要在于估计相关函数的方法不同 22 Yule-Walker方程矩阵估计 随机信号可以看作是由当前激励白噪声w(n)以及若干次以往信 号ⅹ(nk)的线性组合产生,即所谓自回归模型(AR模型)。系统输出 与系统函数可分别用公式表示为: x()=w(n) auxin k) k=1 H(z 1+∑ 7 k k=1 P阶AR模型有p+1个待定系数a1到ap和系统增益G,由上 式,可得白噪声激劢得到的系统输出 x(n)=-∑2=10kx(n-1)+Gw(n) 该式可以理解为,用n时刻之前的p个值的线性组合来预测n时 刻的值x(n,预测误差为GW(n)。在均方误差最小准则下,组合系数 a1,a2,a3…,ap的选择应使预测误差GWn)的均方值最小经过一系 2.实验原理 列的运算,最终可以得到AR模型的正则方程 r( -k, m= 1, 2 Rx(m) kRx(m -k)+g2, m=0 其中模型参数为 Yule-Walker方程: Rxx(m a kXX k=1 其矩阵形式为: R(0) R(1) R(p-1) R(1) R(1) R R(p-1) 2 R(2) R(p-1)R(p-2) R(0) R(p) 求解Yule硎 Walker方程就可以得到AR模型系数。得到参数az (i=1,23,4.p),就可以根据自相关函数和以求参数求系统增益G。 再由Sye)=Sx(e)*|H(e)2可以得到功率谱。但是这种方法直 接求解线性方程组,运算量较大,同时在用自相关法对数据开窗的辶 程中,人为假定了数据段之外的数据为0,在计算过程中引入了误差。 23 Levinson-durbin快速递推法 Levinson- durbin递推算法是解尤勒-沃克方程的快速有效的算法, 这种方法利用自相关矩阵具有的一些好的性质,是运算量大大减少。 我们已知AR模型的正则方程为: 6 2.实验原理 X aRrx(m-k)+G2 在上面方程中令p=1,得一阶AR模型的尤勒-沃克方程为 Rx(0)+a1(1)Rx(1)=p1 Rx(1)+a1(1)Rx(0)=0 求解第二个式子可以得到: Rx(1 a1(1)= Rx(o 进而求得阶数为1时的预测误差功率为: R2x(1) p1=Rx(0) Rx(0)[1-a21(1) 在一阶的基础上进行递推,将阶次为m时的第m个系数定义为反 射系数用km表示,于是可以将计算m阶AR模型参数的 Levinson- durbin递推算法表示如下: k IRx(m)+em-lam-1iRx(m-i) p1 an2(i)=amn-1(i)+kn1m-1(m-i),i=1,2,3….,m-1 Pm = pm-1 上式中m的取值为1,2,…,计算m阶AR模型反射系数的方程 用到了自相关函数序列Rx(m),这是 Levinson-durbin递推算法的一个 特点,从这里可以看出,用 Levinson- durbin递推算法求解AR参数的 关键是自相关函数的序列的估计,为保证自相关函数准确,往往需要 较多的样本薮据。所以,短数据的情况下,该算法求解AR参数的效 2.实验原理 果较差第二个式子是用反射系数km计算m阶AP模型的参数am(i), 第三个式子是根据m-1阶预测误差功率pn-1计算m阶预测误差功率 pn。由此式可以看出反射系数的物理意义,它相当于功率传输到终 端接不匹配二端网络时所引起的功夲反射程度, 从预测误差功率的递推公式可得出AR模型的阶次越高,预测误 差功率越小。若km+1=0,则m阶时预测误差功率已达到最小 这种情况说明m阶时预测误差功率已达到最小,从而说明了AR过程 的正确模型应该是m阶。此结果可用于确定AR模型的合适阶次。如 果用AR模型作为非AR过程随机信号的信号模型,即使到很高阶也 不会出现km=0的情况,因为在理论上此时的AR模型应为无穷阶 这种方法递推效率高,当阶数变化时,无需从头计算。但需要预 先佔计出信号自相关函数,当观测数据长度较短时,佔计误差较大, 会岀现谱峰频率偏移和谱线分裂;如数据很长,估计自相关函数较准 确 2.4 Burg 算法 直接求解尤拉沃克矩阵和递推法都需要用到信号的自相关函数 序列,即先由自相关函数序列求出反射系数,再带入 Levinson- durbin 关系式求出AR参数。而Burg算法不需要自相关函数,直接由观测数 据估计估计反射系数Km,再求的AR模型的参数。同时这种方法与 预测误差格型滤波器密切相关,然后才能导出burg算法。 2.实验原理 估计反射系数所依据的准则是使前向预测误差FPE功率Ef和后 向预测误差BPE功率b的平均值ε最小,即各阶前向预测误差和后向 预测误差由递推公式求出,即 (n)=em(n)+h, (n-1) (n-1)+kmem=1(n) 对于平稳随机过程,使前向预测均方误差和后向预测均方误差之 和最小求得反射系数的估计公式为: N-1 (n)e-1(n-1) n=p 〔ep-1(n)2+(eB-1(n-1) -p 上式中预测误差的求和范围表明,Burg算法所采用的数据加窗方 法是协方差法,不含有对口知数据段之外数据的人为假设。将m阶 AR模型的反射系数和m-1阶AR模型的系数代入到 Levinson关系式中, 可以求得AR模型其他的p-1个参数。伯格递推法利用 Levinson递推 公式,导出前向预测误差与后向预测误差,并按照使它们最小的原则 求出pk,从而实现不用估计自相关函数,直接用观测数据得出结果。 前向、后向观测误差公式分别为: ep(n)=x(n)+>ap(k)x(n-k) k=1 (m)=x(n-p)+>a)x(n-p+ =1 3.软件流程图 Burg递推法思想是借助格型预测误差滤波器,求前向、后向预测 误差平均功率,选择0≤nsN-1使其最小,求出kp之后,再利用 Levinson- Durbin递推法求模型参数和输入噪声方差。 Levinson- Durbin递推法需要由观测数据估计自相关函数,这是它 的缺点。而伯格递推法则由信号观测数据直接计算AR模型参数。Burg 算法的求和范围巧妙回避了将数据段之外的数据人为的假设为0的 这一论断,不含有对为止数据的认为假设,使估计更准确。 3软件流程图 31古典谱估计 周期图法: 设定采样点、米 样频率和函数 对自变量进行坐 标变换(f=n*Fs/N) 对信号做FFT变 换(调用ft 对功率谱进行估 计 对FFT结果的取 模再平方 画图

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