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概率论与数理统计教程
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( 概率论与数理统计教程 第二版 (魏宗舒 著) 高等教育出版社 课后答案.pdf )
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-2-
第一章事件与概率
1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、 3个黑球、 4个红球, 从中任取一球,(ⅰ)得白
球,(ⅱ)得红球。
解(1)记9个合格品分别为
9 2 1
,正 正 正
, ,
,记不合格为次,则
, , , , , , , , ,
) ( ) ( ) ( ) {(
1 9 1 3 1 2 1
次 正 正 正 正 正 正 正 = Ω
, , , , , , , , ,
) ( ) ( ) ( ) (
2 9 2 4 2 3 2
次 正 正 正 正 正 正 正
, , , , , , ,
) ( ) ( ) (
3 9 3 4 3
次 正 正 正 正 正 )} ( ) ( ) (
9 8 9 8
次 正 次 正 正 正
, , , , , ,
=
A
) {(
1
次 正
,
, , ,
) (
2
次 正 )} (
9
次 正
, ,
(2)记2个白球分别为
1
ω
,
2
ω
,3个黑球分别为
1
b
,
2
b
,
3
b
,4个红球分别
为
1
r
,
2
r
,
3
r
,
4
r
。则
= Ω
{
1
ω
,
2
ω
,
1
b
,
2
b
,
3
b
,
1
r
,
2
r
,
3
r
,
4
r
}
(ⅰ)
=
A
{
1
ω
,
2
ω
}(ⅱ)
=
B
{
1
r
,
2
r
,
3
r
,
4
r
}
1.2在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生, 事件
B表示被选学生是三年级学生,事件C表示该生是运动员。
(1)叙述
C AB
的意义。
(2)在什么条件下
C ABC
=
成立?
(3)什么时候关系式
B C
⊂
是正确的?
(4)什么时候
B A
=
成立?
解(1)事件
C AB
表示该是三年级男生,但不是运动员。
(2)
C ABC
=
等价于
AB C
⊂
,表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3一个工人生产了
n
个零件,以事件
i
A
表示他生产的第
i
个零件是合格品
(
n
i
≤ ≤ 1
) 。用
i
A
表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品;
(2)至少有一个零件是不合格品;
(3)仅仅只有一个零件是不合格品;
(4)至少有两个零件是不合格品。
解(1)
n
i
i
A
1
=
;(2)
n
i
i
n
i
i
A A
1 1
= =
=
;(3)
n
i
n
i j
j
j i
A A
11
)] (
[
=
≠
=
;
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-3-
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ,可表示为
n
j i
j i
j i
A A
≠
=
1 ,
;
1.4证明下列各式:
(1)
A B B A
∪ = ∪
;
(2)
A B B A
∩ = ∩
(3)
= ∪ ∪
C B A
) ( ) (
C B A
∪ ∪
;
(4)
= ∩ ∩
C B A
) ( ) (
C B A
∩ ∩
(5)
= ∩ ∪
C B A
) ( ∪ ∩) (
C A
) (
C B
∩
(6)
n
i
i
n
i
i
A A
1 1
= =
=
证明(1)—(4)显然, (5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页
(1.5)式和(1.6)式的证法。
1.5在分别写有2、4、6、7、
8
、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡
片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解样本点总数为
7 8
2
8
× =
A
。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、 11
、
13中的两个,或为2、4、6、
8
、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以
事件
A
“所得分数为既约分数”包含
6 3 2 2
1
5
1
3
2
3
× × = × +
A A A
个样本点。于是
14
9
7 8
6 3 2
) (=
×
× ×
=
A P
。
1.6有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条,
求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解样本点总数为
10
3
5
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
。 所取三条线段能构成一个三角形, 这三条线段必
须是
3
、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件
A
“所取三条线段能构成一
个三角形”包含3个样本点,于是
10
3
) (=
A P
。
1.7一个小孩用13个字母
T T N M M
I I
H E C A A A
, , , , , , , , , , , ,
作组字游戏。如
果字母的各种排列是随机的(等可能的) ,问 “恰好组成 “MATHEMATICIAN”一词
的概率为多大?
解显然样本点总数为
!
13
,事件
A
“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含
!
2
!
2
!
2
!
3
个样本点。所以
!
13
48
!
13
!
2
!
2
!
2
!
3
) (= =
A P
1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ,求它们
正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于
89 1 10 9= − ×
个不同位置, 当
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-4-
它处于和红“车”同行或同列的
17 8 9= +
个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所
求概率为
89
17
) (=
A P
1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。电梯在每一
层都停, 乘客从第二层起离开电梯, 假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的
,
求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所
以样本点总数为
7
9
。事件
A
“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于
“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯” 。所以包含
7
9
A
个样本点,于是
7
7
9
9
) (
A
A P
=
。
1.10某城市共有10000辆自行车, 其牌照编号从00001到10000。 问事件 “偶
然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解用
A
表示“牌照号码中有数字8” ,显然
4
4
10
9
10000
9
) (
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= =
A P
,所以
1 ) (=
A P
-
4
4
10
9
1
10000
9
1 ) (
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− = − =
A P
1.11任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是1;
(2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是1;
解(1)答案为
5
1
。
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答
案为
5
2
10
4
=
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样
本空间包含
2
10
个样本点。用事件
A
表示“该数的立方的最后两位数字都是1”
,
则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为
a
,则该数的立方的最后
两位数字为1和3
a
的个位数,要使3
a
的个位数是1,必须
7 =
a
,因此
A
所包
含的样本点只有71这一点,于是
。
1.12一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人
把6个头两两相接,6个尾也两两相接。 求放开手以后6根草恰好连成一个环的
概率。并把上述结果推广到
n
2
根草的情形。
解(1)6根草的情形。取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取
另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接, 故
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-5-
对头而言有
1 3 5
⋅ ⋅
种接法,同样对尾也有
1 3 5
⋅ ⋅
种接法,所以样本点总数为
2
) 1 3 5 (
⋅ ⋅
。 用
A
表示 “6根草恰好连成一个环” , 这种连接, 对头而言仍有
1 3 5
⋅ ⋅
种
连接法, 而对尾而言, 任取一尾, 它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接
。
再取另一尾, 它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接, 最后再将其余的尾
连接成环,故尾的连接法为
2 4
⋅
。所以
A
包含的样本点数为
) 2 4 )( 1 3 5 (
⋅ ⋅ ⋅
,于是
15
8
) 1 3 5 (
) 2 4 )( 1 3 5 (
) (
2
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
A P
(2)
n
2
根草的情形和(1)类似得
1.13把
n
个完全相同的球随机地放入
N
个盒子中(即球放入盒子后,只能
区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨
的) 。如果每一种放法都是等可能的, 证明(1)某一个指定的盒子中恰好有
k
个球
的概率为
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− − +
n
n N
k n
k n N
1
2
,
n k
≤ ≤ 0
(2)恰好有
m
个盒的概率为
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− −
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n N
m N
n
m
N
1
1
1
,
1 − ≤ ≤ −
N m n N
(3)指定的
m
个盒中正好有
j
个球的概率为
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− − + −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− +
n
n N
j n
j n m N
m
j m
1
1
1
1
,
.
0
,
1
N j N m
≤ ≤ ≤ ≤
解略。
1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是
任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解所求概率为
5
3
) (=
A P
1.15在
ABC
∆
中任取一点
P
, 证明
ABC ABP
∆ ∆与
的面积之比大于
n
n
1 −
的概
率为
2
1
n
。
解截取
CD
n
D C
1
=
′
,当且仅当点
P
落入
B A C
′ ′
∆
之内时
ABC ABP
∆ ∆与
的面
积之比大于
n
n
1 −
,因此所求概率为
2
2
) (
CD
D C
ABC
C B A
A P
′
=
∆
′ ′
∆
=
的面积
有面积
2
2
2
1
CD
D C
n
′
=
2
1
n
=
。
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-6-
1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时, 求有一艘船停靠泊位时必须等待
一段时间的概率。
解分别用
y x
,
表示第一、 二艘船到达泊位的时间。 一艘船到达泊位时必须等
待当且仅当
1 0
,
2 0≤ − ≤ ≤ − ≤
x y y x
。因此所求概率为
121
.
0
24
22
2
1
23
2
1
24
) (
2
2 2 2
≈
× − × −
=
A P
1.17在线段
AB
上任取三点
3 2 1
, ,
x x x
,求:
(1)
2
x
位于
3 1
x x
与
之间的概率。
(2)
3 2 1
, ,
Ax Ax Ax
能构成一个三角形的概率。
解(1)
3
1
) (=
A P
(2)
2
1
1
2
1
3
1
3 1
) (=
× × −
=
B P
1.18在平面上画有间隔为
d
的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形
,
该三角形的边长为
c
b a
, ,
(均小于
d
) ,求三角形与平行线相交的概率。
解分别用
3 2 1
, ,
A A A
表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线
相合,两条边与平行线相交,显然
. 0
) ( ) (
2 1
= =
A P A P
所求概率为
) (
3
A P
。分别用
bc ac ab
c
b a
A A A A A A
, , , , ,
表示边
c
b a
, ,
,二边
bc ac ab
, ,
与平行线相交,则
= ) (
3
A P
).
(
bc ac ab
A A A P
∪ ∪
显然
) (
a
A P
) ( ) (
ac ab
A P A P
+
,
= ) (
b
A P
) ( ) (
bc ab
A P A P
+
,
= ) (
c
A P
) ( ) (
bc ac
A P A P
+
。所以
2
1
) (
3
=
A P
[
+ ) (
a
A P
+ ) (
b
A P
) (
c
A P
]
) (
2
2
c
b a
d
+ + =
π
) (
1
c
b a
d
+ + =
π
(用例1.12的结果)
1.19己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可
能事件?试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投
点。则事件
A
“该点命中
AB
的中点”的概率等于零,但
A
不是不可能事件。
1.20甲、 乙两人从装有
a
个白球与
b
个黑球的口袋中轮流摸取一球, 甲先取
,
乙后取, 每次取后都有不放回, 直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一
随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
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