《应用随机过程》读书笔记
早 期 的 概 率 论 和 分 析 是 两 个 截 然 不 同 的 领 域 .1933 年 ，
Kolmogorov 建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密
的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世
纪 40 到 50 年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为
“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、
学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越
来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的
分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、
估计理论等理论分支。
在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是
一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是
在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们
无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是
对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把
握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基
本概念及其相关性质。
一 定义 1 随机过程
X ,n 0
称为关于
Y ,n 0
的下鞅，如果对
n
n
时
的函数，
，并且
，这里
n 0, X
(Y ,�,Y )
EX
E(X |Y ,�,Y ) X
n
n
0
n
n
n1
0
n
。我们称过程
X ,n 0
为关于
Y ,n 0
的上鞅，如果对
X max 0,X
n
n
n
n
是
的函数，
，并且
，这里
n 0, X
(Y ,�,Y )
EX
E(X |Y ,�,Y ) X
n
n
0
n
n
n1
0
n
X ,n 0
兼为关于
Y ,n 0
的下鞅与上鞅，则称
。若
X max 0,X
n
n
n
n
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