数值分析课后习题答案

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数值分析是属于计算数学的一门学科,它对做机器学习的朋友会有帮助
内容提要 本书是为理工科各专业研究生、本科生学习“数值分析”、“计 算方法”课编写的辅导教材,主要内容包括函数插值与逼近,数值 积分与数值微分,常微分方程数值解,方程求根,线性代数方程组 的直接法与迭代解法等.本书各章都给出了内容提要,基本要求 例题选讲,习题及习题解答,最后编有模拟试题 本书还可作为数学系、信息与计算科学系及其他专业大学生 学习“数值分析”时的参考书,对参加同等学力人员申请硕士学位 综合水平全国统一考试中的“数值分析”考试也极有参考价值 前言 科学计算能力是跨世纪人才不可或缺的,高等教育中如何培 养学生科学计算的能力正日益受到关注,已成为当前教育改革的 核心和焦点之 数值分析课桯在培养学生科学计算能力上具有不可替代的作 用。现今,已有众多数值分析教材出版,但与之相适应的教辅书尚 不多见,编著一本数值分析辅导教材是很有必要的,因此,我们编 著了《数值分析学习辅导·习题解析》书 该书包含下述内容:误差的有关知识,插值法,数值积分与微 分,常微分方程数值解,非线性方程求根,线性代数方程组求解及 函数逼近与计算。全书共分为九章,前八章结构均由内容提要、基 本要求、例题分析、习题及习题解答五部分组成,第九章为模拟试 本书旨在为专、本科理科学生及工科大学生、研究生学习“计 算方法”、数值分杬”等课程提供一本有较强指导性和可读性的辅 导教材,同司时,它对备考硕士研究生、博士硏究生以及在职申请硕 士学位综合性考试的读者也是有极大帮助的 限于水平,错误和不妥之处恳请读者北评指正。 编者 2001.2. 日录 第一章误差分析 ·········c (1) 、内容提要 (1) 基本要求 (4) 三、例题选讲 (4) 四、习题 …(8) 五、习题解答 (10) 第二章插值法 17) 、内容提要……… (17) 基本要求 ……(30) 三、例题选讲… (30) 四、习题 (53) 五、习题解答 (57) 第三章函数逼近与计算… (73) 、内容提要 (73) 二、基本要求…………………………………………(84) 例题选讲 …………(84) 四、习题 (106) 五、习题解答 (109) 第四章数值积分与数值微分 ……(125) 内容提要 垂非 ……………………(125) 基本要求 ……(132) 三、例题选讲 (133) 四、习题 (157) 五、习题解答 (162) 第五章常微分方程数值解法 (185) 一、内容提要 (185) 基本要求 (192) 、例题选讲 ····· (192) 四、习题 (211) 五、习题解答 ····· …(215) 第六章方程求根… …(229) 内容提要 (229) 二、基本要求 ……(237) 例题选讲 (237 四、习题… (259) 五、习题解答 (262) 第七章解线性方程组的直接解方法 ……(277) 内容提要 (277) 基本要求 (289) 三、例题选讲 (289) 四、习题 (315) 五、习题解答 …………(321) 第八章解线性方程组的迭代法 ……(341) 内容提要 …(341) 基本要求 (345) 例题选讲 (346) 习题 (358) 五、习题解答 ……(364) 模拟试卷 垂非 …………………(381) 第一章误差分析 内容提要 本章主要是论述误差的概念及其简单理论.其中包括 1.误差的来源 误差的来源是多方面的,但主要有四个方面 (1)模型误差 反映实际问题有关量之间关系的计算公式,即数学模型,通常 只是近似的.由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间的误 差称为模型误差 (2)观测误差 数学模型中包含的某些参数(如时间、长度、电位等等)往往通 过观测而获得,由观测得到的数据与实际的数据之间是有误差的, 这种误差称为观测误差 (3)截断误差 求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法, 那么只能得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为方法误差 或截断误差 (4)舍入误差 由于计算机的字长有限,参加运算的数据以及运算结果在计 算机上存放会产生误差,这种误差称为计算误差或舍入误差 在数值分析中,主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的 影响,而一般不考虑模型误差和观测误差 2.误差的基本概念 (1)绝对误差 绝对误差是指准确值与其近似值之差.设x是准确值x的 个近似值,则e=x-x为x的绝对误差.e的一个上界e'叫 做近似值的误差限.一般来讲,误差限都取到某位的半个单位 (2)相对误差 用绝对误差来刻画近似数的精确程度是有局限性的,因为它 没有反映出它在原数中所占的比例.记 er e,称为近似值x^的相对误差.由于准确值x未知,实际上总把 x作为x的相对误差.相对误差一般用百分比表示 相对误差绝对值的一个上界ε称做近似值的相对误差限 (3)有效数字 若近似值x^的误差限是某一位的半个单位,设该位到x的 第一位非零数字共有n位,则称x有n位有效数字 有效数字是表示近似数准确度的另一重要方法,它是由组成 近似数的数字个数来表示近似数的精确度的 若x有n位有效数字,可写成标准化形式 tt···n ×10″, (1.1) 其中a,…,a是0到9中的一个数字,且a≠0,m为整数 有效数字与相对误差限的关系 用(1.1)式表示的近似数x,若x具有n位有效数字,则其 相对误差限为 ×10 反之,若x的相对误差限 2(m+1)×10-- (1.3) 则x至少具有n位有效数字 3.数值运算的误差估计 设近似数x1与x的误差限分别为e(x1)及ε(x2),则它们 进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为 (x'±x2)=e(x)土 E( )≈|x1∈(x2)+|x2|e(x1) (1.4) e(x1/ x'|e(x2)+|x2|e (x2≠0) 函数值的误差: 设有函数f(x,x,…,xa),若需要计算A=f(x,x,… x),而x,x2,…,xn的近似值为x1,x,…,xn,A的近似值为 A=f(x,x2,…,xn),于是函数值A的误差e(A)为 e(a )=aA-f )-f( x1·x2 误差限 (A)≈ 2af ∈(xk); (1.6) 而A的相对误差限为 (A) A A 4.数值运算中的一些原则 数值运算总是在一个预先设计好的算法中进行的.所谓算法 就是一个有限的基本运算序列,这个序列规定了怎样从输入数据 去计算出问题的解·由于运算是在计算机上进行的,而计算机的 字长有限,因而产生舍入误差.为减小舍入误差的影响,设计算法 时应遵循以下一些原则 1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法; 2)要避免两相近数相减; 3)要防止大数“吃掉”小数; 4)注意简化计算步骤,减少运算次数; 5)要有数值稳定性,即能控制舍亼误差的传播 二、基本要求 1)误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志,为此对每 个方法都要注意误差分析,可结合一些实际问题加深理解误差概 念和理论的实际意义 2)在弄清楚基本概念以及它们之间的内在联系的基础上,会 处理最常见的一般运算结果和解决某些实际问题 三、例题选讲 例1求3的近似值,使其绝对误差限精确到。×10 ×10 10 解因为3=1.73205….由于 e(1.7)= 1.7|=0.03205…<0.05, e(1.73)=|3-1.73|=0.00205…0.005, e(1.732)=|3-1.732|=0.00005. 所以x=1.7,x2=1.73,x3=1.732 例2测量一木板长是954cm,问测量的相对误差是多大? 解因为实际问题所截取的近似数,其绝对误差限一般不超 过最小刻度的半个单位,所以当x=954cm时,有e=0.5cm,其 相对误差限为 e(94)~0.5 954=0.0005241 <0.000525=0.0525%<0.053% 注:此处取ε=0.053%作为相对误差限而不取0.0525%,也 不取0.052%作为相对误差限,是因为绝对误差限0.5本身就是

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