1
6.2 环与域
环的定义与实例
特殊的环
交换环
含幺环
无零因子环
整环
域
2
环的定义
定义 设 <R,+,·> 是代数系统， + 和 · 是二元运算 .
如果满足以下条件 :
（ 1 ） <R,+> 构成交换群
（ 2 ） <R,·> 构成半群
（ 3 ） · 运算关于 + 运算适合分配律
则称 <R,+,·> 是一个环 .
3
环中的术语
通常称 + 运算为环中的加法， · 运算为环中的乘法 .
环中加法单位元记作 0
乘法单位元（如果存在）记作 1.
对任何元素 x ，称 x 的加法逆元为负元，记作 x.
若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x
1
.
4
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普
通的加法和乘法构成环，分别称为整数环 Z ，有
理数环 Q ，实数环 R 和 复数环 C.
(2) n(n≥2) 阶实矩阵的集合 M
n
(R) 关于矩阵的加
法和乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环 .
(3) 集合的幂集 P(B) 关于集合的对称差运算和
交运算构成环 .
(4) 设 Z
n
＝ {0,1,...,n － 1} ，和分别表示模 n
的
加法和乘法，则 <Z
n
,,> 构成环，称为模 n 的整
数环 .
5
特殊的环
定义 设 <R,+,·> 是环，
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称 R 是交换环 .
(2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称 R 是含幺环 .
(3) 若 a, b∈R ， a b=0 a=0∨b=0 ，则称 R 是无零
因子环 .
(4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，
则称 R 是整环 .
(5) 若 R 为整环， |R|>1, 且 aR*=R-{0} ， a
-1
R,
则称 R 为域 .
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