信号与系统公式总结

### 信号与系统公式总结 #### 一、信号与系统基础 **1. 冲激函数的各种性质** 冲激函数（或称为狄拉克δ函数）是信号与系统理论中的一个重要概念，在数学上并不是一个真正的函数，而是一个广义函数（分布）。其定义如下： - **定义**：\(\delta(t)\) 的定义为： \[ \delta(t) = \begin{cases} +\infty & t = 0 \\ 0 & t \neq 0 \end{cases} \] 其中满足 \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1\)。 - **与ε函数的关系**：\(\delta(t)\) 和ε函数（单位阶跃函数）之间的关系为 \(\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau = \varepsilon(t)\)。 - **性质**： - \(\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)\)，其中 \(a \neq 0\)。 - \(\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t - t_0) dt = f(t_0)\)。 - \(\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta'(t - t_0) dt = -f'(t_0)\)。 **2. 系统线性时不变性的判断** - **线性**：若系统对于输入 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 产生的输出分别为 \(y_1(t)\) 和 \(y_2(t)\)，那么当输入为 \(a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\) 时，输出应为 \(a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)\)。 - **零状态线性**：考虑零初始条件下的系统，若输入 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 分别导致输出 \(y_{zs1}(t)\) 和 \(y_{zs2}(t)\)，那么对于输入 \(a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)\)，输出应为 \(a_1 y_{zs1}(t) + a_2 y_{zs2}(t)\)。 - **零输入线性**：考虑零输入情况下的系统，即仅由初始条件产生的输出。若初始条件 \(x_1(0)\) 和 \(x_2(0)\) 分别导致输出 \(y_{zi1}(t)\) 和 \(y_{zi2}(t)\)，那么对于初始条件 \(a_1 x_1(0) + a_2 x_2(0)\)，输出应为 \(a_1 y_{zi1}(t) + a_2 y_{zi2}(t)\)。 - **时不变性**：如果系统对于输入 \(f(t)\) 在时间 \(t_0\) 产生的输出为 \(y(t_0)\)，那么对于输入 \(f(t-t_0)\) 产生的输出应该为 \(y(t-t_0)\)。 #### 二、连续系统的时域分析 **1. 卷积积分** - **定义**：两个函数 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 的卷积积分表示为 \(f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\)。 - **性质**：卷积运算满足交换律、结合律等。 - **常用卷积结果**：例如 \(e^{-at}u(t) * e^{-bt}u(t) = \frac{e^{-(a+b)t}}{b-a}u(t)\)。 **2. 单位冲激响应与单位阶跃响应** - **单位冲激响应** \(h(t)\) 表示系统对单位冲激输入 \(\delta(t)\) 的响应。 - **单位阶跃响应** \(g(t)\) 表示系统对单位阶跃输入 \(u(t)\) 的响应。 #### 三、离散系统的时域分析 **1. 卷积和** - **定义**：两个序列 \(f_1(k)\) 和 \(f_2(k)\) 的卷积和表示为 \(f_1(k) * f_2(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i)f_2(k-i)\)。 - **性质**：与连续系统中的卷积积分类似，卷积和也满足交换律、结合律等。 - **常用卷积和结果**：例如 \(a^ku(k) * b^ku(k) = \frac{a^k - b^k}{b-a}u(k)\)。 **2. 单位冲激响应与单位阶跃响应** - **单位冲激响应** \(h(k)\) 表示离散系统对单位冲激输入 \(\delta(k)\) 的响应。 - **单位阶跃响应** \(g(k)\) 表示离散系统对单位阶跃输入 \(u(k)\) 的响应。 通过以上内容的梳理，我们可以清晰地理解信号与系统理论中的基本概念和原理，并掌握相关的计算方法和技巧，这对于深入学习信号处理和系统分析至关重要。这些知识点不仅是考研和日常考试的重点，也是深入理解和掌握信号与系统理论的基础。