清华大学-高等数值分析-历年真题汇总

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清华大学-高等数值分析-历年真题汇总,适用于博士和硕士课堂,基本每年必中
再推导出讲义P52,定理33,从而可得出结论|=0,即找到了准确解 6.证当A为对称正定矩阵时,证明 Lanczos方法不会发生中断 证明: A=A)0, AQm=Qm m+Bn,9mm1e →QAQ=7 出讲义定理1.12可知,当A=A)0时,QAQn正定,即T正定,非奇异 则 Lanz cos方法不会发生中断。 7.当A=I-B时,rank(B)=p,用CG法求解Ax=b,最多几步收敛? 212,00.0.0.0.0,0 1-12,00.0,0,0,0, 2,0,00,0,0 0,1-22,0,0.0.0,0 0,2,000,0 0,0,1-2a2,0,0.0, 证明,BB=X000000000X1,则/-BB7=X0,00,0,01000X1 0,0,0,0,0,0,0,0,0 0,0.0,0,0,0,0,1,0 0,0,0,0,0.0,0,0,0 0.0.0,0.0,0.0.0.1 即其含有最多p+1个不同的特征值,则当p+1<n时,最多P+1步收敛,否则n步收敛。 8.证明 Anorldi过程中断时 MERES找到了准确解。 证明:讲义P64页定理3.4.3 9.为什么在绝对精确的计算下,CG,1 anczos, MINRES, Arnoldi, GMRES方法至多n步一定找 到准确解。 证明 对于C,MNRS, GMRES说,其残差项具有最优性,即叫收敛,当m=n时,其空间K(mAm) =Rm,则一定找打了准确解。 对于 lanczos来说, AQ=QT 当mn时,→QAQn=Tn 由讲义定理1.12可知,当A=A)O时,QAQ正定,即Tn正定 3/6 T=QAQ 又因为:|e 则又因为X=X0+Qyn=X6+ Q,QnAQn,=x6+A r=b-AX,=ro-ro=0 备注 Q e,=q,, 9 Anile, =ro 证毕 对 Arnoldi,同理可证。 10.叙述 Rayleigh-Ritz和精叙述 Ray leigh-Ritz方法的主要收敛结论(贾氏定理 解,见讲义P93,定理4.6.1,以及P95页,定理4.7.1. 11.描述 Arnoldi方法和精化的 Arnoldi方法 解,见讲义P94,以及P96页。 12.若si∠(X,v)=e,求|p(k)-4|=0(e) 证v=a1x1+X2C2,又巾k-1 cos/(x,)(X,1)=(X,v)=1 则sin∠(X,w)=e=|2|=1-a2 -4|-=|(ax+x2C2a2X1+AX2C2)-A山 a M +C2 X2AX,C2- (ax2-1)+C2(X2Ak2)C2 IC2 n+x2C ≤ac|)=o(e2) 证毕 13.v=a1X1+X2()1,p(V)=(1o,Av),证 Raylei商收敛于主特征值 证 4/6 B B Vk=aX,+X 0 l→C12+ -A|=|(v,4v)-4 B (ax1+X2() B 4x1+AX2( 入 rT +C1X, AX2(n)10+(X2 )2+(X2 )AX2( 1)+ 7 AX,+X +2) < 4.当v0=a1X1+Σa1x,时,求证p- AVo=GX,+2a nx A C2+x1+2C1+X Vk, Av) (v,av ∑a.22 2k+1 2A2k+1 ∑a.2 2k+1 2 4 2k 2k 212k M+a 2 2 a, + a 12 a2(a)242+a2() 证毕 15.叙述幂法 解,见讲义P80 5/6 最后三道题为四个月后补录,准确性已经无法保证,仅供参考,祝君顺利 6/6

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