电磁场与电磁波(第四版)谢处方编课后习题答案

所需积分/C币:18 2017-02-24 09:01:03 8.75MB PDF
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电磁场与电磁波第四版的习题解答,答案很全,清晰 对学习很有帮助
1.1基本内容概述3 e,、en、e与en、E、e之间的变换关系见表L.2。 衰L.2 sin f 0 C088 日 0 n w 0 e,、e,、e与e,、e,、e,之间的变换关系见表1.3。 表13 e sin tet中 CP= cos sin 9n sin o 0 1.1.3标景场的梯度 1,标量场的等值面 标量场可用一个标量函数来播述 (1.17) 标量场的等值面方程为 (r)=C(C为常数 (1.18) 2.标量场的方向导数 在直角坐标系巾方向导数的计算公式为 8 du al ax B+ y (1.19) 式中,cosa、0sB、cosy是方向I的方向余弦。 3.标量场的梯度 标量场的梯度ⅴu是一个矢量,在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的 表达式分别为 au dz e L du (1.2l) p“p 4第1章矢量分忻 十已 十已 22 Bad 1.1.4矢量场的散度 1.矢量场的矢量线 矢量场可用一个矢量函数来描述 (r)=e,F、(r)+F,(r)+eF(r) (1.23) 矢量场的矢量线徵分方程为 dz 1.24) 2.矢量场的通量 矢量场F(r)穿出闭合面S的通量为 y=φF(r)·dS=的F 1.25 3.矢量场的散庶 矢量场的散度ⅴ·F是一个标量,在直角坐标系圆柱坐标系和球坐标系中 的表达式分别为 da da dA V.F (1.26) a Paφ (1.27) aF (rF)+ sin aFa)+ r dr rsin f af rsin a ap 1.28) 4,散度定理 矢量场的款度在体积v上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分,即 ·Fd F·d5 (1.29) 散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系,在电磁理 论中非常有用 l.L.5矢量场的旋度 1.矢量场的环流 矢场F(r)沿闭合路径C的环流为 1.1基本内容概述5 1.30 2.矢量场的旋度 矢量场的旋度ⅴxF是一个矢量,在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中 的表达式分别为 (1.31 o* y d 已 (1.32) do a d F (1.33) r sin 4 di F, rFa rsinθF4 3.斯托克斯定理 矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场沿限定该抛面的闭合路径C 的线积分,即 V XF.ds F·dt (1.34) 斯托克斯定理是矢量场中的面积分与围线积分之间的一个变换关系,在电磁理 论中也很有用。 1,1.6无旋场与无散场 ,无旋场 标量场的梯度有一个重要性质就是它的旋度恒等于0,即 Vx(V4)=0 (1.35 个旋度处处为0的矢量场F称为无旋场,可以把它表示为一个标量场的 梯度,即如果ⅴ×F=0,则存在标量函数u,使得 (1.36 6第1章矢分析 2.无散场 矢量场的旋度有一个重要性质,就是旋度的散度恒等于0,即 (V×A)=0 1.37) 一个散度处处为0的矢量场F称为无散场可以把它表示为另一矢量场的 旋度,即如果V·F≡0,则存在矢量函数A,使得 F=YxA 8 1.17拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算v2n 在直角坐标系园柱坐标系和球坐标系中,v2的表达式分别为 (1.39) dx a 2 0(n0u)+18u (1.40 P dp/ p a az (1.41) dr r sin e dof sin g ou a0/ f"f ad 2,格林定理 格林第一定理(格林第一恒等式) fdi d ds an (1.42) 格林第二定理(硌林第二但等式) (φⅴψ-ψV2φp)dv 日n ψ 8\d 1.43) 1.8亥姆霍兹定理 矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度,一个久量场所具有的 性质可由它的散度和旋度来说明。可以证明:在有限的区城V内,任一矢量场 由它的散度旋度和边界条件(即限定区域v的闭合面S上的矢量场的分布)惟 地确定,且可表示为 F(r)=-Vu(r)+V×A(r) t.44) 12/教学基本要求及重点、难点讨轮 1.2.1教学基本要求 理解标量场与矢量场的概念,了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的 1.2教学基本要求发重点、难点讨论7 概念。 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是三种常用的坐标系,应热练掌握。 矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的概念,应深刻理 解,掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法。 散度定理和斯托克斯定理是久量分析中的两个重要定理,应熟练掌握和 应用。 理解亥姆霍兹定理的重要意义。 1.2.2重点、难点讨论 (1)矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质,它们的主要区别 在于: ①一个矢量场的旋度是一个矢量函数,而一个矢量场的散度是一个标量 函数; ②旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系,而散度描述的是矢 量场中各点的场量与通量源的关系; ③如果矢量场所在的空间中vxF=0,则这种场中不可能存在旋涡源,因 而称之为无旋场(或保守场);如果矢量场所在的空间中v·F=0,则这种场中 不可能存在通量源因而称之为无源场(或管形场); ④在旋度公式(1.31)中,矢量场F的场分量F、F,、F,分别只对与其垂直 方向的坐标变量求偏导数,所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方 向上的变化规律;而在数度公式(1.26)中矢量场F的场分量F、F,F分别只 对x、y、z求偏导数,所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化 规律。 (2)亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质矢量场由它的散度和旋度惟 地确定,矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以,分析矢量场 总是从研究它的散度和旋度着手散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方 程(微分形式}。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手,得 到基本方程的积分形式。 (3)一个标量场的性质可由它的梯度来描述,即u(r)=v·+C。标 量场的梯度具有如下性质 ①标量场u(r)的梯度是一个矢量场,并且VXw≡0; ②标量场u(r)中,在给定点沿任意方向e1的方向导数等于梯度在该方向 上的投影,即 8第1章矢量分析 ③标量场u(r)中每一点的梯度垂直于过该点的等值面,且指向u(r)增加 的方向。 13习题解答 l.1给定…个久量A、B和C如下 2 5-2 求:(1)e4;(2)|A-B;(3)A·B;(4);(5)A在B上的分量;(6)Ax C;(7)A·(BxC)和(AxB)·C;(8)(AxB)×C和Ax(BxC) 4 e.+e.2-g3 解(1) te A 1+22+(-3) 14 /4 (2)A·B|=l(e2+e,2-e,3)-( e e,+e6-∈4 53 (3)A·B=(en+e2-3)·(-e,4+e,)=-11 (4)由cos,g A·B A A「B ,得 √I4×√17 238 Hua arccos 135.5° 38 (5)A在B上的分量 A A·B as 18-|B (6)AxC=112-3|=-4-e,13-c,10 50-2 (7)由于BxC=!0 41|=e,8+e,5+e20 2 AxB 1.a习题解答9 所以A·(BxC)=(e,+e,2-g,3)·(e8+e5+e20)=-42 (A×B)·C=(-E10-e,1-e4)·(e5-c2)=-42 e (8)(A×B)xC=-10-1 4,40+ 0 Ax(BxC)=112-3=5-e,44-:1l 8 20 1,Z-角形的三个顶点为P1(0,1,-2)、P2(4,1-3)和P3(62,5) (1)判断△P1P2P3是否为一直角三角形; (2)求三角形的面积。 解(I)三个顶点P1(0,【,-2)、P2(4,1,-3)和P3(6,2,5}的位置矢量分 别为 r,=e,-e,2,2=,4+e,-e3,P3=e26+e,2+e5 则 R=72-r,=e14-已2,R23=r3-r2=e,2+e,+e8 R 由此可见 R2·R2=(e4-e:)·(e12 8)=0 故△P1P2P3为·直角三角形。 (2)三角形的面积 2RBxR222xR21=17xv69=1713 1.3求P(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解 e3+e,+e,4 图2-B2+日3 R= R pp A,=r.5·g.3- 且Rpp与x、y、2轴的夹角分别为 arc cos Pp arCCos iRpp =32,31° /35 e R 丑 TLCs arccos 120.47° R FP 5 arccos e, .pp= arccos =99.73° R 5 10第1章矢量分析 14给定两矢量A=e,2+,3-4和B=14-,5+"6,求它们之间的夹 角和A在B上的分量。 解 A 29 77 (e2+e,3-E4)·(E4-,5+6) 故A与B之间的夹角为 A·B arccos 因rC怒 =131° A BI √29×√77 A在B上的分量为 A= A B 6 532 B 1.5给定两矢量A=e2+,3-4和B=-e,6-e,4+e2求AXB在C e:上的分量 解 A×B=23 13+e22+10 (AxB)·C=(-e:13+e,22+,1)·(e-e,+2)=-25 C 所以AB在C上的分量为 (A X BE (A X B) 14.43 16证明:如果A·B=A·C和AxB=AxC,则B=C 证由 AxB=AxC,则有Ax(AXB)=Ax(AxC),即 (A·B)A-(A·A)B=(A·CA-(A·A)C 由于A·B=A·C,十是得到 A·A)B=(A·A)C 故 B≈c 1.7如果给定一个未知矢量与一个已知矢量的标量积和矢量积,那么便可 以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,P=A.X而P=AxX,pP和P已知,试 求 解由P=AxX,有

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