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随机信号分析基础第三版 评分:

电气类研究生必修课,适应于硕士生和博士生教学和学习,是一本很好的工具书和讲义,并用于仪器的改进。
P(x2)+P(x3)用P(X≤x)定义x的函数称为随机变X的概分布的数(也叫分布函数 或累积分h阏数)图1.也给出了前例的系积介布函数结果Ⅹ≤就是通常概率意义上 的个事件,所以岽积分布两数必须满足前面所讨论的性质,特别是P(X<-∞)=0和 (X<x)=1同样,X落在间隔:<X≤r,的概率是P(X≤:)-P(X≤x) P(,<X≤、)递常也把分布函数记为F(x),即有 (a)=P(x (a)代表离散就率的冲激函数 (b)累积分布函数 型1.}离散随机变量的概率函数 上而的讨论不难外推到两个随机变量(二元分布)或更多随机变量(多元分布)的情况对 于两个随机变量X和Y(它们可以是连续的,也可以是离散的),下商的公式显然成立 P(X≤ )=0,P(X≤x,Y≤-9}=0,P(X≤,Y≤的) P(Xsx,Y≤∞)=P(X≤x),P(X≤,Y≤y)=P(Y≤y) 3.2) 1.4连续随机变量 考一个随机变量X,它貝有图」2所小的连续累积分布函数,这是连续随机变量的一个 例子,这种随机变量取值的数目是不可数的例如样本空可以是整个实数轴。如果累积分布 函数的导数在,定义这个导数为连续随机变量的概率密度函数(或者符称密度函数)。用 p(r)表小随机变量r的概率密度函数,有 dFx(x)_dP(X≤z) dr 注意,密度函教的定义必须包括它取值范闹的说明。 PiAs a)密度函数 b)累积分布函数 图1.2连随机变量的概率函数 如杲函数P(X≤x)是定积分形式,则可以用微积分中菜伯尼兹( Leibnitz)法则米求微 分 olry 若g(x) f(t,x)d,式中a(x),b(x)是n的可微函数,f(t)和?ft,x)x对 x和t都是连续的,则 B f(t, r) + fT 22(x 了丿,℃ d. 因为累积分布函数是非降的,所以p(x)≥0图1.2为概率密度雨数的一个例子利用狄 拉克δ函数(冲激函数),也可以把离散随机变量的概率密度函数定义为累积分布函数的导数。 BE数在间断点出现,如图1.』所示对于这个例子密度函数叮以表小为 P(x)( 也可以列成一个表,用所谓分布列的形式表小,见表1【。 表1.1密度函数的分布列表示方法 状态x1 #*P(x-H)P(Y=E2 P(X-22> P(X=r33 p(X :4 P(X-x5)P(x-x6) 通常,随机变量可以是混合类型的,其累积分布函数由阶跃的间新部分和处处连续的部 分组成这类随机变量的例子如图1.3所示。 队率密变飚数定义直接得出 P(X≤a (14.2 量p(x)dx可以解释为随机变量落在x和x+dx之间的概率。随机变量落在区间a≤X<b 的概率为 (a<x≤b)=|(x)d P(X≤ Pr a)密度函数 b)累积分布函数 酉1.3混仑随机变量的概率函数 对连续随杋变量来说,它落在一个区河的概率随这个区间的减小而趋于零。用a+e来代 替上式中的b,并让ε趋于零就不难看出这一结果。 对于两个随机变量X和Y,联合概率密度函数记为p(x,y),定义为 P(X≤x,Y≤y) (1,4.4) 由此可得 (X≤a,Y≤h) 户(r,y)d P(xs≤a)=!cy(x,y 1,4.5) PY≤b=dp(x,y)dy 同理可证 )ay 以及 f2( :,y)d. 用这种方法引出的概率密度数有时叫做边缘密度函数,这就由高维概率密度函数求低 堆概率密度函数通用的法 给定随机变量X后,变量Y的条件概率密度函数定义为 p、yr)=p(r,y)/p(x),力(x)≠0 1.4.8 于是 P(Y:blrk P(y!r)dy (1.4.9) 应解释为给定X=x后,Y≤b的概率。条件慨率峦度函数的定义可以扩展到绘定·组随 机变量X,=1,…,m}的情况下另一组随机变量{1,=1,2,…,n}的联合概率这样 y1;…,ya1x (1.4.10 pirI 统计独立的条件同样可以用概率密度函数来表述:对x,y,…,z的所有取值当满足 p 1.4.11) ①按照通习惯,用p()表示8、各E的概率密度函数也小X、Y的联合概率密度婚数,即使它们有不同的函 数形式,却可用宗量来加以区分如果这一点在文中不够清楚,则要用脚标来区别不同的函数形式 而H也只有满足这个条件时,随机变量X,Y,…,Z才是统计狐立的。 1.5随机变量的函数 个或多个随机变量的函数,经常在随机信号分析、检测理论以及际概率论和统计数学有 关的其他学科中出现,一个随机变量的函数Y=g(X)是这样表述的观察由实验得到的实数 然后完成由y=g(x)定义的算术运算典型例子如图14所示这也可以推广到多个随机 变量函数的情形。例如Y=g(X,Z),即可中观察一对实数值x和x并完成y=x(x,z)的函 数映射来表述,求和s=x+≈便是一例 hx rE0 (a)线性变换 (b)半液整流 C)平方律 图1.4随机变量的函数 为了说明求随机变量数统计量的直接方法。考察图1.4(a)的情形,这只是一按比例 变牝的线性函数y=bx假定X的概率密度函数已知,求Y的密度函数 出于Y≤y的概率等于X≤y/b|的概率即有P(Y≤y)=Px(X≤yb)由概 率密度函数定义直接得到 d =Px(X≤y/b) 由于分布函数是非降的,所以导数不能为负,应用莱伯尼兹法则可以证明 Pr( 式中,·|表示绝对值。Y的取值范围是X的取值范围乘以b 例11若上述情况下X的密瘦函数是指数的(换句话说X按指数分布),即风(x) e(、x≥0),则可以直接得出 若b>0,则y>0 若b<0,则y≤0 X的密度函数以及b=2时Y的密度函数如图15所示 例3.2设密度函数px(x)和前例相同,求Y=x+a时Y的密度函数, 解:应用直摆厅法 P(Y X(y-u 为 Fy{y≤y)=PxX≤(-a 所以 y-2 y> a 图1.6表示了这种情况 ply P()0 p(v=0.59 ()05 界 II. 图.5例1.的密度函数 肉1.6例12的帘度哟数 一般情况若y=g(x),先假设g(x)为单调函数情况,其反函数为x=f(y),则 、(1df(y dy 了 下讨论的问越虽然复杂些,但却包含了上述简单悄形的同样原理,把一个或多个随机 变量变换(或者说陕射)成另一组随机变量则多维随机变量落在样本空间一个给定区域内的 慨率.与变换后的多维随机变量落在新的样本空间中相应区城内的概率应孩相同。 假定有一组随机变量如x1,X2,…,Xy,其联合概率密度图数是已知的,记为bx(x1,x2 N,想求一红新的随机变量Y:,Y2Yx的联合概率密度函数内 x(yl,y2:“,%):Y同X 的函数关系为 Y1=51(X1,X2,…,AN (1.5.2) Y=6N(x1,X2,…Kx) 列如,对N二2的简单情况 2 22=X-X 暂时假定新变量Y的个数N等于旧变量X,的个数新随机变量为旧随机变量的单值连 续函数,有处处连续的偏导数,而且J变量也可以表小为新变量的单值连续反)函数即 X1=f(Y 15.3) XN=f(Y1 Y 用前面的例子,反函数为 X (Y1-Y2 因此;X(=1,2,…,N)样本空刊中的每一个 点,对应于而且只对应于Y,(t=1,2,…,N)样本 空间的一个点,即旧变量和新变之问有一一对 应的映射关系 假定一个特殊样点集包含在X域的范崮A 图1.7空间A一一对应地 内,由于Xx}和Y2}之间的函数关系,所以范围 映射成空B的说明 A映射成Y域内的范囿β,正如图1.7所示的那 样,则样点x1,x2,…,x落入A的概率与样点yy2…”y,落入范围B的概率相同图中x和 y分别表示多维交量x1,x2…,rN和y1,y2…,M所以 4x1,xNx1m2d王N y丿(y141yZ"cy 式中,(x1,x2,…,x)是X(=1,2,…,N)的联合概率密度函数,是已知的;户y,y2, ,y、)是Y的联合概率密度函数,是待求的。 在等式左端积分中采用多元函数积分中变换变量的标准方法,得到 x(x1,2,…,xdd2 A P i(r=fl y,y2,…,y) I didy…d 式中,|J1是变换的雅可比 Jacobian)式的绝对值。雅可比式是下列矩阵的行列式,义为 5) f 厌为假定积分诹顺序是增加的,所以使用雅可比式的绝对值对于前面的例子 11 可得|f=12 将这个棋分与式(154)的积分相比较,我们了以看出新旧联合概率嚮度函数有下述关 系 p(yy…y)=力x[x1=f1(y 31 N(y1. 2," ,IN 这个公式连同x的定义域,完全啪定了它的度两数,显然一维情况的雅可比式是dyr 例1.3假定独立随机变量X1和X2按正态(高斯)分布,密度函数为 2 e",p( T 求Y1和Y2的痞度乎数这里 X1+X2=g1(X1,X2) Y2=X1-X2=g2(X1X 天为随机X变量X1和K2是独立的,所以X1和K2的联合密度函数是 p(x1,x2)=p(x1)次(x2 反变换是 (Y1+Y2)=f1(Y1,Y2 X 雅可比式为 所以|!|=t2,且 p(y,y e 4π 可见在这种情况下,Y1和Y2是统计独立的高斯随机变量。 前面涉及的是新旧随机变量数目祁问的情况。新随机变量效目少于旧随机变量数目时可 以类似地处理。用一个实例来说明。 例14给定两个随机变量X1和X2,联合密度函数为p(x1,x2)求一个新随机变量Y 的密度函数p(y),这里 Y=XI+X2=gX1,X 上-(x2+x2)n 12 2I 解:为!使用上面的结果,改写上面的变换为 Y1=X1+X2=g1(X1,X2) 12-g2 以保持新变量数目相同。可得其反变换为 K1=Y-Y2=f1(Y1,Y2) X2=Y2=f2(Y1,Y2 雅可比式为 Y1 2r Y1和Y2的联合密度函数为 y1-y29x2=y2

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2015-10-13 上传 大小:4.03MB
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pimiesan2269 就是不太清啊
2017-10-10
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数字通信上课PPT,第二章确定与随机信号分析,觉得有用的可以自取。整个内容还不错。可以看看,挺好的。。。。。。。。。。。

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