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正太分布的推导.pdf
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正态分布 推导
2007-10-11 11:18
在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导,才知道原来所谓正态分
布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽
样实验中当样本总量很大时,随机变量就服从正态分布,至于正态分布是怎么来
的一点都不提。大学之前,我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大
学之后,发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详,而且很多定义没有任何
说明的就出来了,就像一致连续,一致收敛之类的,显得是那么的突兀。这时候
数学就像数学老师一样蛮横,让我对数学极其反感,足足有四年之久。只到前些
日子,在 CSDN 上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章,才重新对数学发生兴趣。
最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》,才
知道原来每一个定义,和每一个定理都有它的价值和意义。
前几天在网上遇到老文,小小的探讨了一下这个问题,顺便问起他斯特林公
式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式,就写出来放在百度上以供来
者瞻仰吧。于是就有了这篇文章:
斯特林(Stirling)公式的推导
如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的,请阅读之。
本来是想和老文一块发的,怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才
搞定。于是直至今日,方才有这篇小文字。
本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》,
本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分,后半部分以及其与
伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难,自己动动手也是能
推出来的。
这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中,作为理解连续性随机变量
的基础,正态分布是十分重要的。
斯特林公式:
根据斯特林公式,
因此
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