《排队模型》.pdf合辑

### 排队模型的核心知识点详解 #### 一、排队模型的基本概念 **1.1 排队过程的一般表示** 排队过程是指顾客从顾客源出发，到达服务台前按照一定的规则排队等待接受服务，之后完成服务并离开的过程。这一过程可以用以下流程表示： 1. **顾客源**：提供顾客的地方，顾客数量可以是有限或无限的。 2. **排队**：顾客到达服务台前等待服务的过程。 3. **服务机构**：为顾客提供服务的实体。 4. **顾客到来**：顾客到达服务机构的时间点。 5. **排队规则**：顾客如何排队等待接受服务的规定。 6. **服务规则**：服务机构如何为顾客提供服务的规则。 7. **顾客离去**：顾客完成服务后离开服务机构。 **1.2 排队系统的组成与特征** 排队系统的组成主要包括三个方面： 1. **输入过程**：顾客来源及其到达规律。需要关注顾客源中顾客的数量、顾客到达的方式、顾客相继到达的间隔时间分布等。 2. **排队规则**：顾客排队等待的队列和接受服务的顺序。包括即时服务与等待服务的区别、等待服务下的队列组织形式、服务顺序等。 3. **服务机构**：服务台的工作形式和服务情况。包括服务台的数量、排列情况、服务方式、服务时间分布等。 **1.3 排队模型的分类** 根据D.G.Kendall提出的分类方法，排队模型可以根据以下三个特征进行分类： 1. **顾客相继到达的间隔时间分布**：顾客到达之间的间隔时间是如何分布的。 2. **服务时间的分布**：服务所需的时间是如何分布的。 3. **并列的服务台个数**：服务台的数量。 这些模型通常使用Kendall记号表示，格式为 `X/Y/Z`。例如，`M/M/1` 表示顾客到达间隔和服务时间均服从负指数分布，并且只有一个服务台。 **1.4 排队系统的求解** 为了评估排队系统的性能，通常会计算以下几个关键指标： 1. **队长**：系统中的顾客总数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。 2. **排队长**：仅包括正在排队等待服务的顾客数。 3. **逗留时间**：顾客从到达系统到离开的总时间。 4. **等待时间**：顾客在队列中等待接受服务的时间。 5. **服务时间**：顾客接受服务的时间。 此外，还需要考虑系统的瞬态和稳态。瞬态指的是系统状态随时间变化的概率分布，而稳态则是随着时间推移趋于稳定的概率分布。 #### 二、主要概率分布 **2.1 经验分布** 在处理实际排队系统时，需要通过统计方法确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布。这通常涉及以下步骤： 1. **数据收集**：收集有关顾客到达和服务时间的实际数据。 2. **数据分析**：基于收集的数据，确定分布类型和参数。 3. **拟合检验**：验证选择的分布是否适合实际情况。 **2.2 普阿松分布** 普阿松分布是一种常用的概率分布，用于描述单位时间内发生的事件次数的概率。在排队模型中，当顾客到达时间间隔服从负指数分布时，单位时间内到达的顾客数服从普阿松分布。 **2.3 负指数分布** 负指数分布常用来描述顾客到达间隔和服务时间的分布。这种分布的特点是事件发生的时间间隔具有无记忆性，即过去的时间不影响未来事件的发生。 #### 三、典型排队模型分析 **3.1 标准M/M/1模型 (M/M/1/∞/∞)** 这是一种最常见的排队模型，其中： - M/M/1：顾客到达间隔和服务时间都服从负指数分布，只有一个服务台。 - ∞/∞：系统容量无限，顾客源也是无限的。 - FCFS：采用先到先服务原则。 **3.2 系统容量有限的情形 (M/M/1/N/∞)** 此模型与M/M/1模型类似，但系统容量有限(N)。 **3.3 顾客源有限的情形 (M/M/1/∞/m)** 此模型与M/M/1模型相似，不同之处在于顾客源有限(m)。 ### 总结 排队模型是研究顾客到达和服务过程的重要工具，通过理解和分析排队模型可以帮助优化服务流程，提高服务质量。以上介绍了排队模型的基本概念、主要概率分布以及典型模型的分析方法。通过对这些知识点的学习，我们可以更好地理解排队模型的应用场景和解决实际问题的能力。