《数学分析讲义》(第五版) 下册(刘玉琏 傅

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《数学分析讲义(第5版)(下册)》分上、下两册,是在第四版的基础上修订而成的。在内容和体例上未作较大变动。知识内容稍有扩充,涉及的方面很广。增加了少量的说明性文字,使内容更加完善。下册内容包括:级数、多元函数微分学、隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分、曲线积分与曲面积分等。 《数学分析讲义(第5版)(下册)》阐述细致,范例较多,便于自学,可作为高等师范院校本科教材,也可作为高等理科院校函授教材及高等教育自学用书。
、第一型曲线积分(361)二第二型曲线积分(368)三第一曲 线积分与第二型曲线积分的关系(376)四、格林公式(378)五、曲积 分与路线无关的条件(386)练习题14.1(392) §14.2.曲面积分 _··◆◆D4 、第一型曲面积分(396)二第二曲面积分(39)三奥高公 式(403)四、斯托克斯公式(410)练习题14.2(417) §14.3.场论初步 (420) 、梯度(420)二、散度(423)三旋度(427)四、微分算子(434)练 可题14.3(435) 练习题答案…… ·。(437 第九章级数 级数分为数值级数与函数级数。函数级数是表示函数,特别是 表示非初等函数的一个重要的数学工具.例如,有的微分方程的 解不是初等函数,但其解却可表为函数级数。函数级数又是研究 函数(初等函数与非初等函数)性质的一个重要手段。因此,函数 级数在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。数值级 数是函数级数的特殊情况,它又是函数级数的基础。本章首先讨 论数值级数的基本理论 §9.1.数值级数 、收敛与发散概念 设有数列{un}即 12y3p·°n;· (1) 将数列(1)的项依次用加号连接起来,即 a1+2a8+…+wn+…,或∑xn, (2) 称为数值级数,简称级数,其中an称为级数(2)的第η项或通项 级数(2)是无限多个数的和,我们只会计算有限个数的和,不 仅不会计算无限多个数的和,甚至都不知道何谓无限多个数的和 因此,无限多个数的和是一个未知的新概念.这个新概念也不是孤 立的,它与我们已知的有限个数的和联系着。不难想到,由有限个 数的和转化到“无限多个数的和”应借助极限这个工具来完成 设级数(2)前t项的和是Sn,即 Sn=1+22+…+un或Sn=∑ 称为级数(2)的项部分和.显然,对给定级数(2),其任意第项部 分和Sn都是已知的,于是,级数(2)对应着个部分和数列{Sn} 定义若级数(2)的部分和数列{S}收敛,设 S或1im>uk 则称级数(2)收敛,A是级数(2)的和,表为 2+m3+ 若部分和数列{Sn}发散,则称级数(2)发散,此时级数(2)没有和 定义若级数∑un收敛,其和是S,而8-Sn表为Tn,即 7 Sn=>ur b 十an+2十 k=1 r 称为收敛级数∑n的n项余和简称余和.显然,有 1 imr=lim(S一Sn)=0. 由此可见,级数的敛散性(收敛与发散)是借助于它的部分和 数列的敛散性定义的.反之,数列的敛散性也可归结为级数的敛 散性.事实上,设有数列{Sn}.令 S-Sn-1,"=2,3, 显然, Sn=S1+(S2-S1)+…+(Sa-n-1) =a1+a2+…+an=>nk i=1 即数列Sn的敛散性可归结为级数∑an的敛散性 因此,研究收敛级数及其和数只不过是研究收敛数列及共极 限的一种新形式.因为级数是有限和的推广,有鲜明的直观性,所 以,这种新形式不是收敛数列及其极限的简单重复,它使我们处理 不同形式的极限具有更大的灵活性,并提供了新的工具 例1.讨论几何级数 afar+ar t 1 的敛散性,共中a≠0,7是公比 解1)当|r≠1时,已知几何级数的1项部分和 n=a+a+…+47- C--CT (i)当|r|<1时,极限 lims:lim ar 因此,当<1时,几何级数收敛,其和是,,即 (i)当||>1时,极限 lims.=lim 一 因此,当|r|>1时,几何级数发散 2)当||=1时,有两种情况 (i)当γ=1时,几何级数是 g+a+a+…+a+ S =a+a+ C=0 ①见§2.1例4,当<1时,1mrn=0 lima) =limn=∞(a≠0), 即部分和数列{Sn发散 (i)当r=-1时,几何级数是 a-a+a-a+…+(-1)n-a+ 0,t是偶数, a,n是奇数, 即部分和数列{Sn发散 于是,当|r=1时,几何级数发散 综上所述,几何级数∑qr,当叫<1时收敛,其和是1=7; 当|?|≥1时发散 例2.证明,级数 1+a1+…+ (5-4)(57+1) 收敛,并求其和 证明·通项tn可改写为 (5n-4)(5+1) 5( 5-45n1 级数的t项部分和 十a11+…+ (5-4)(57+1 5-457十1/ 5+ lims.=l n→ 1im3( 5t+1/5 于是,级数收敛,其和是,即 (57-4)(57+1)5 例3.证明,调和级数 。+… 鶴二1 是发散的 证明设调和级数∑的n项部分和是n,即 T=1 由§2.2例11,已知数列{yn}发散,从而,调和级数发散 、收斂级数的性质 因为级数∑un的收敛与它的部分和数列{Sn}的收敛是等价 的,所以数列{Sn收敛的必要充分条件也就悬级数∑4n收敛的 = 必要充分条件,已知数列{Sn的柯西收敛准则: 数列{Sn}收敛←>Ve>0,彐N∈N,n>N,VP∈N,有 7+P r <8 设n是级数∑mn的项部分和,有4 ntp +1十n+2+…十n+ 于是,有下面级数的柯西收敛准则 定理1.(柯西收敛准则)级数∑n敘←→>Ⅴe>0,豆N∈ Ⅴx>N,V∈N,有 5 tn+1+2+2+…↓n+n!<e 根据定理1的必要性,若级数∑u2收敛,则Vε>0,N∈N, Vn>N,取P=1,有!n!<e,于是,有 推论1.若级数∑n收敛,则inu1=0 推论1的等价命题是,若mn≠0,则级数∑an发散 例如,级数 9 3 + 101201301 … 00·7 因为im2=1im07=1000,所以级数∑1007+发散 7=1 注1imn=0仅是级数∑1收敛的必要条件而不是充分 条件,即inn=0,级数∑un也可能发散,例如,调和级数(见 例3) 1+-1-+…十+… 有1imn=1im1=0,而调和级数区1却是发散的 ) n=1 定理1指出,级数∑an收敛等价于级数∑n的充分远(即 n>N)的任意片段(即p,2mn+1+n+2+…+m+)的绝对值可以任 意小.由此可见,级数∑u2的敛散性仅与级数充分远的任意片 段有关,而与级数∑n前面有限多个项无关.于是,又有 推论2.若去掉、增添或改变级数∑vn的有限项,则不改变 级数∑n的敛散性 例如,去掉发散级数∑的前面100项,而级数 100+2101「102 100+2+… 仍是发散的。 根据数列极限运算定理可得级数运算定理 定理2.若级数∑an收敛,其和是S,则级数 c2n=ca1+cw2…+cn =1 也收敛,其和是cS,其中c是常数(c≠0) 证明设级数∑n与∑n的项部分和分别是Sn与on, T=1 有 0n=c1+cl2+…+cln=c(1+"2…+n)=cn 已知lm8n=S,有 limon=limeS=cS →6

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lxx10013 这是第三版!!和第五版对不上!!还是很感谢的
2020-03-21
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风雨不眠隔夜的你 楼主好人,不要积分,一生平安。
2019-09-03
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