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一维非齐次热传导方程差分格式

热传导方程

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一维非齐次热传导方程差分格式



引言



向前 Eular



向后 Eular



Crank-Nicolson



总结

引言

考虑如下一维非齐次热传导方程

Dirichlet

初边值问题

( , ),

u u

a f x t

t x

 

 

 

,c x d 

0 ,t T 

(1. 1)

( ,0) ( ),u x x





,c x d 

(1. 2)

( , ) ( ),u c t t





( , ) ( ),u d t t





0 t T 

( 1. 3)

的有限差分方法, 其中

为正常数,

( , ), ( ), ( ), ( )f x t x t t

  

为已知常数,

( ) (0),c

 



( ) (0).d

 



称(1. 2)为初值条件, ( 1. 3)为边值条件.

差分格式的建立

本文将给出(1. 1)



(1. 3) 的向前

Euler

格式, 向后

Euler

格式和

Crank Nicolson

格

式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现,

Crank Nicolson

格式误差最小, 向前

Euler

格式次之, 向后

Euler

格式误差最大.

向前

Euler

格式

将区间

[ , ]c d

作

等分, 将

 

0,T

作

等分, 并记

( ) /h d c M 

/T N





x c jh 

0 j M 

t k





0 k N 

. 分别称

和



为空间步长和时间步长. 用

两组平行直线

x x

0 j M 

t t

0 k N 

将  分割成矩形网格. 记

 

| 0

h j

x j M   

 

t k N



   

h h

 

  

称

 

j k

x t

为结点

[1]

定义





上的网格函数

 

|0 ,0

U j M k N     

, 其中

 

j j k

U u x t

在结点

 

j k

x t

处考虑方程(1. 1), 有

   

 

, ,

j k j k

j k

u x t u x t

a f x t

t x

 

 

 

1 1,j M  

1 1k N  

. (2. 1)

将

 

j k

u x t



以结点

 

j k

x t

为中心关于

运用泰勒级数展开, 有

     

 

, , , ( ).

j k

j k j k j k

u x t

u x t u x t u x t o



 







   

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