计算流体力学中的有限体积法_OpenFOAM高级导论_之向量分析
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2022-03-29
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第 2 章 向量分析回顾
摘要 本章简要回顾了连续介质力学领域相关知识，以便为后续守恒方程的推导铺平道路，
同时构建了一些贯穿本书始末的数学符号和程式。本章内容不求面面俱到，而且假定读者具
备一定的连续介质力学相关的基础知识。另外，本章对线性代数的一些基本概念，包括向量、
矩阵、张量及其各自应用，做了简短的介绍。最后部分研究了向量分析中的基本定理，不论
通过数值方法或者解析方法，这些定理是计算流体力学中处理和求解上述守恒方程所必需的
基础工具。
引言
本书所研究的传输现象可以通过数学方程进行描述，其包含的物理量一般可以分为三类：
标量、向量和张量
[1-3]
。在整本书中，细斜体表示标量；小写的粗体罗马字母表示向量；粗体
的希腊字母则表示张量。另外，矩阵是通过大写的粗体罗马字母表示的。
标量是指仅有大小的变量，诸如体积、压强、温度、时间、质量和密度。向量
是指既有大小又有方向的变量，例如速度、动量和力。矩阵是按行列排序的矩形
数组。张量是一个类似于向量却比向量更通用的数学对象，由一组分量表示，例如剪切应力
张量。此外，守恒方程是由两个或者多个变量的乘积所代表的单项式构成。书中所涉及的乘
法运算可能发生在不同类型之间，并且变量可能是上述三种类型的组合。当乘法运算的结果
是标量时，乘积将用小括号“(乘积)”括起来；如果乘积是向量，则用中括号“[乘积]”将结果括
起来；如果乘积是张量，则使用大括号“{乘积}”。
向量及向量运算
流体力学中最常用到的向量是速度，用表示。在三维笛卡尔坐标系中，速度在、
和方向上的分量分别用、和表示（图 2.1）。在笛卡尔坐标系中，可以写成
(2.1)
其中、和分别是、和方向上的单位向量。通常，向量一般指的是列向量，因此向量
及其转置，即行向量，可以表示成
(2.2)
其中上标代表转置。向量的大小可以通过下式计算得到
(2.3)
两个向量
和
的和就是将其各自分量相加，即
(2.4)
或者
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