数 学 建 模
主 编 司守奎
副主编
徐珂文 李日华
海军航空工程学院
﹒i﹒
目 录
第一章 线性规划……………………………………………………………………………1
§ 1 线性规划……………………………………………………………………………1
1.1 线性规划的实例与定义 ……………………………………………………1
1.2 线性规划的 Matlab 标准形式…………………………………………………1
1.3 线性规划问题的解的概念…………………………………………………… 2
1.4 线性规划的图解法…………………………………………………………… 2
1.5 求解线性规划的 Matlab 解法…………………………………………………3
1.6 可以转化为线性规划的问题………………………………………………… 4
§ 2 运输问题………………………………………………………………………… 4
§ 3 指派问题………………………………………………………………………… 5
§ 4 对偶理论与灵敏度分析………………………………………………………… 7
习题一……………………………………………………………………………… 9
第二章 整数规划………………………………………………………………………… 12
§ 1 概论……………………………………………………………………………12
§ 2 分枝定界法………………………………………………………………………12
§ 3
10 − 整数规划………………………………………………………………… 14
3.1 引入
10 − 变量的实际问题………………………………………………… 15
3.2
10
−
整数规划解法之一………………………………………………… 16
§ 4 蒙特卡洛法（随即取样法）……………………………………………………17
§5 整数规划的计算机解法…………………………………………………………18
习题二………………………………………………………………………………19
第三章 非线性规划………………………………………………………………………20
§ 1 非线性规划………………………………………………………………………20
1.1 非线性规划实例与定义 ……………………………………………………20
1.2 线性规划与非线性规划的区别 ……………………………………………21
1.3 非线性规划的 Matlab 解法…………………………………………………21
1.4 求解非线性规划的基本迭代格式 …………………………………………22
1.5 凸函数、凸规划…………………………………………………………… 23
§ 2 无约束问题……………………………………………………………………… 23
2.1 一维搜索方法……………………………………………………………… 23
2.2 二次插值法………………………………………………………………… 26
2.3 无约束极值问题的解法 ……………………………………………………26
2.4 Matlab 求无约束极值问题……………………………………………… 32
§ 3 约束极值问题…………………………………………………………………32
3.1 二次规划…………………………………………………………………… 33
3.2 罚函数法…………………………………………………………………… 34
﹒ii﹒
3.3 Matlab求约束极值问题…………………………………………………………35
§ 4 飞行管理问题…………………………………………………………………38
习题三………………………………………………………………………………………39
第四章 动态规划…………………………………………………………………………40
§ 1 引言………………………………………………………………………………40
§ 2 基本概念，基本方程和计算方法………………………………………………41
§ 3 逆序解法的计算框图……………………………………………………………43
§ 4 动态规划与静态规划的关系……………………………………………………44
§ 5 若干典型问题的动态规划模型…………………………………………………46
§ 6 具体的应用实例…………………………………………………………………47
习题四…………………………………………………………………………………50
第五章 图与网络模型及方法…………………………………………………………… 51
§ 1 概论………………………………………………………………………………51
§ 2 图与网络的基本概念……………………………………………………………52
§ 3 应用—最短路问题………………………………………………………………58
§ 4 树…………………………………………………………………………………60
§ 5 匹配问题…………………………………………………………………………63
§ 6 Euler图和 Hamilton 图………………………………………………………… 64
§ 7 最大流问题………………………………………………………………………68
§ 8 最小费用流及其求法……………………………………………………………73
习题五……………………………………………………………………………… 74
第六章 排队论模型……………………………………………………………………… 76
§ 1 基本概念…………………………………………………………………………76
§ 2 输入过程与服务时间的分布……………………………………………………78
§ 3 标准的 M/M/1 模型………………………………………………………………81
§ 4 产生给定分布的随机数的方法…………………………………………………82
§ 5 排队模型的计算机模拟…………………………………………………………83
习题六………………………………………………………………………………… 86
第七章 对策论…………………………………………………………………………… 87
§ 1 引言………………………………………………………………………………87
§ 2 对策问题…………………………………………………………………………87
§ 3 零和对策的混合策略……………………………………………………………90
§ 4 零和对策的线性规划解法………………………………………………………92
习题七……………………………………………………………………………… 95
第八章 层次分析法……………………………………………………………………… 96
§ 1 层次分析法的基本原理与步骤……………………………………………… 96
§ 2 层次分析法的应用……………………………………………………………100
习题八……………………………………………………………………………… 103
第九章 插值与拟合……………………………………………………………………… 104
﹒iii﹒
§ 1 插值方法………………………………………………………………………104
1.1 拉格朗日多项式插值………………………………………………………104
1.2 牛顿插值………………………………………………………………………106
1.3 分段线性插值…………………………………………………………………108
1.4 埃尔米特(Hermite)插值………………………………………………………109
1.5 样条插值………………………………………………………………………110
1.6 二维插值………………………………………………………………………113
§ 2 曲线拟合的线性最小二乘法……………………………………………………114
2.1 线性最小二乘法………………………………………………………………114
2.2 最小二乘法的 Matlab 实现…………………………………………………… 116
§ 3 最小二乘优化……………………………………………………………………117
§ 4 曲线拟合与函数逼近…………………………………………………………119
习题九…………………………………………………………………………………120
第十章 数据的统计描述和分析……………………………………………………122
§ 1 统计的基本概念………………………………………………………………122
§ 2 参数估计………………………………………………………………………128
§ 3 假设检验……………………………………………………………………129
习题十…………………………………………………………………………………133
第十一章 方差分析…………………………………………………………………134
§ 1 单因素方差分析………………………………………………………………134
§ 2 双因素方差分析………………………………………………………………138
习题十一………………………………………………………………………………140
第十二章 回归分析…………………………………………………………………141
§ 1 多元线性回归…………………………………………………………………141
§ 2 非线性回归和逐步回归………………………………………………………148
习题十二………………………………………………………………………………151
第十三章 微分方程建模……………………………………………………………153
§ 1 发射卫星为什么用三级火箭…………………………………………………153
§ 2 人口模型………………………………………………………………………158
§ 3 战争模型………………………………………………………………………160
习题十三………………………………………………………………………………165
第十四章 稳定状态模型……………………………………………………………167
§ 1 微分方程稳定性理论简介……………………………………………………167
§ 2 再生资源的管理和开发………………………………………………………169
§ 3 Volterra 模型………………………………………………………………… 174
习题十四………………………………………………………………………………178
第十五章 常微分方程的解法………………………………………………………179
§ 1 常微分方程的离散化…………………………………………………………179
§ 2 欧拉(Euler)方法………………………………………………………………180
﹒iv﹒
§ 3 改进的(Euler)方法……………………………………………………………181
§ 4 龙格—库塔(Runge—Kutta)方法…………………………………………… 182
§ 5 线性多步法……………………………………………………………………184
§ 6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法………………………………185
§ 7 Matlab 解法………………………………………………………………… 186
习题十五……………………………………………………………………………………191
第十六章 差分方程模型…………………………………………………………………192
§ 1 差分方程……………………………………………………………………… 192
§ 2 蛛网模型……………………………………………………………………… 195
§ 3 商品销售量预测……………………………………………………………… 198
§ 4 遗传模型……………………………………………………………………… 200
习题十六……………………………………………………………………………………206
第十七章 马氏链模型……………………………………………………………………207
§ 1 随机过程的概念……………………………………………………………… 207
§ 2 马尔可夫链…………………………………………………………………… 207
§ 3 马尔可夫链的应用…………………………………………………………… 216
习题十七……………………………………………………………………………………216
第十八章 动态优化模型…………………………………………………………………218
§ 1 变分法简介…………………………………………………………………… 218
§ 2 生产设备的最大经济效益…………………………………………………… 226
习题十八……………………………………………………………………………………229
第十九章 神经网络模型…………………………………………………………………230
§ 1 神经网络简介………………………………………………………………… 230
§ 2 蠓虫分类问题与多层前馈网络……………………………………………… 232
§ 3 处理蠓虫分类的另一种网络方法…………………………………………… 236
习题十九……………………………………………………………………………………238
第二十章 偏微分方程的数值解…………………………………………………………240
§ 1 偏微分方程的定解问题……………………………………………………… 240
§ 2 偏微分方程的差分解法……………………………………………………… 242
§ 3 Matlab 解法……………………………………………………………………247
习题二十……………………………………………………………………………………251
第二十一章 目标规划……………………………………………………………………253
§ 1 目标规划的数学模型………………………………………………………… 253
§ 2 多目标规划的 Matlab 解法…………………………………………………… 255
习题二十一…………………………………………………………………………………256
第二十二章 模糊数学模型………………………………………………………………257
§ 1 模糊数学基本知识…………………………………………………………… 257
§ 2 模糊分类问题………………………………………………………………… 263
§ 3 最佳方案的模糊决策………………………………………………………… 268
