(完整版)逻辑斯谛(Logistic)映射.pdf

《逻辑斯谛(Logistic)映射》探讨了一个简单的数学模型，用于揭示非线性系统如何通过倍周期分岔进入混沌状态。这个模型基于一个迭代方程，被称为逻辑斯谛映射，它描述了有限环境中昆虫种群的增长和自我调节。 4-1 逻辑斯谛映射 逻辑斯谛映射起源于一个关于昆虫种群动态的模型，假设每年昆虫数量按λ倍增长，但在有限的食物和生存空间下，种群会受到限制。用迭代方程表示这个模型： \[ N_{i+1} = \lambda N_i (1 - N_i) \] 其中，\( N_i \) 表示第i代的昆虫数量，\( \lambda \) 是增长率，且 \( \lambda \in [0, 4] \)。 4-2 倍周期分歧走向混沌 通过迭代计算逻辑斯谛映射，我们可以观察到非线性系统如何经历倍周期分岔进入混沌状态。这个过程可以用图形表示，水平轴代表当前代昆虫数量，垂直轴代表下一代数量。迭代过程就像在抛物线和45度线上寻找交点，随着迭代次数的增加，系统可能进入不同的行为模式： 1. 当 \( \lambda < 3 \) 时，系统最终收敛到一个不动点，即种群数量稳定在一个特定值。 2. 当 \( 3 < \lambda < 4 \) 时，系统在两个值之间循环，呈现2周期行为。 3. 当 \( 4 < \lambda < 4.449 \) 时，系统开始4周期循环。 4. 当 \( \lambda \) 继续增大，系统可能出现混沌行为，种群数量在无限多的值之间无规律跳动。 费根鲍姆在1978年发现了倍周期分岔的普适规律，他提出的鲍姆数描述了倍周期分岔发生时参数 \( \lambda \) 的变化规律，特别是在进入混沌区域前的分岔点。在 \( \lambda \) 接近4时，系统进入混沌区，期间存在许多周期解的“窗口”。 通过逻辑斯谛映射的研究，我们能深入理解复杂系统的行为，包括稳定性、周期性和混沌，这对于预测和控制生物学、经济学、物理学等领域中的非线性系统具有重要意义。