数码相机定位（全国大学生数学建模竞赛A题）
本文假设数码相机成像原理为小孔成像，在此基础上，通过两种合理的模型 对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 针对问题一和二，我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模 型。在变换矩阵模型中，建立了物、像、相机三个坐标系，分别称为世界坐标系， 像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵3 4 ( ) ij M a ´ = ，推 导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点 的坐标，通过多元线性回归拟合出各椭圆方程；对单独一个圆进行研究时，在合 理的近似前提下，以圆心为世界坐标系的原点，可求出该圆心所成像在像坐标系 中的坐标u = a14 , v = a24。最后我们求得5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分 别为（单位：mm）：（-50.00，51.32，-417.20）、（-23.54，49.47，-417.20）、（33.86， 45.24，-417.20）、（-60.05，-31.22，-417.20）、（18.52，-31.48，-417.20）。在公 切线模型中，通过简单几何证明，得出在小孔成像时，公切线交点的像就是公切 线像的交点，联系题目中所给标靶的特殊性（所有圆全等），得出像平面中公切 线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像，并设计了一种算法得到5个圆心所 成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：（-49.92，51.36，-417.20）、 （-23.47，49.34，-417.20）、（33.88，45.05，-417.20）、（-60.04，-31.29，-417.20）、 （18.58，-31.56，-417.20）。 在问题三中，我们用计算机模拟的方法，统计和分析了我们模型的在不同的 情况下所得到的结果与理论值之间的误差，并着重研究了相机与标靶的距离和像 平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下，当相机与标 靶的距离大于200 毫米，-0.5 £a £ 0.5以及-1£ b £ 0.5（单位为弧度）时，我们 的结果与理论值相差不到一个像素，有着较好的稳定性和精度。 问题四中，通过每个相机旋转变换矩阵R和平移向量T，可以得到两相机的 变换关系： 1 1 1 2 1 2 2 1 R = R R -、T = R R - T +T ，即相对位置关系，并理论推导了从两相 机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数，实现双目定位。另外 在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上，我们还给出另外一种合理 模型，通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置，从而可以得到两相 机的相对位置。
