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离散数学答案--尹宝林-课后习题答案.pdf
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离散数学答案--尹宝林-课后习题答案
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第一章 命题逻辑
习题与解答
⒈ 判断下列语句是否为命题,并讨论命题的真值。
⑴ 。
032 =−x
⑵ 前进!
⑶ 如果 ,则三角形有四条边。
2078 >+
⑷ 请勿吸烟!
⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗?
⑹ 如果太阳从西方升起,你就可以长生不老。
⑺ 如果太阳从东方升起,你就可以长生不老。
解 ⑶,⑹,⑺表达命题,其中⑶,⑹表达真命题,⑺表达假命题。
⒉ 将下列命题符号化:
⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。
⑶ 他生于 1963 年或 1964 年。
⑷ 只有不怕困难,才能战胜困难。
⑸ 只要上街,我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐。
⑺ 如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视。
⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
⑼ 我进城的必要条件是我有时间。
⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书,除非他病了或者图书馆不开门。
解 ⑴
p
:逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 。
p¬
⑵
p
:我看见的是小张。
q
:我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为 。
qp ¬∧¬
⑶
p
:他生于 1963 年。
q
:他生于 1964 年。
“他生于 1963 年或 1964 年”符号化为 。
qp ⊕
⑷
p
:害怕困难。
q
:战胜困难。
“只有不怕困难,才能战胜困难”符号化为 。
pq ¬→
⑸
p
:我上街。
q
:我去书店。
“只要上街,我就去书店”符号化为 。
qp →
⑹
p
:小杨晚上做完了作业。
q
:小杨晚上没有其它事情。
r
:小杨晚上看电视。
s
:小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情,小杨就看电视或听音乐”符号化为
s
r
qp ∨→∧
。
⑺
p
:林芳在家里。
q
:林芳做作业。
r
:林芳看电视。
“如果林芳在家里,那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为
r
qp ∨→
。
⑻
p
:三角形三条边相等。
q
:三角形三个角相等。
“三角形三条边相等是三个角相等的充分条件”符号化为 。
qp →
⑼
p
:我进城。
q
:我有时间。
“我进城的必要条件是我有时间”符号化为 。
qp →
⑽
p
:他唱歌。
q
:他心情愉快。
“他唱歌的充分必要条件是心情愉快” 符号化为 。
qp ↔
⑾
p
:小王在图书馆看书。
q
:小王病了。
r
:图书馆开门。
“小王总是在图书馆看书,除非他病了或者图书馆不开门”符号化为
prq →¬∨¬ )(
。
⒊ 列出除 ,
∨
,
⊕
,
→
,
↔
之外的所有二元联结词的真值表。
∧
离散数学习题解答
1
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
解 共有 16 个二元联结词,记除 ,
∨
,
⊕
,
→
,
∧
↔
之外的二元联结词为
1121
,,, ΔΔΔ Κ 。
p q
qp
1
Δ qp
2
Δ
qp
3
Δ
qp
4
Δ
qp
5
Δ qp
6
Δ
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0
p q
qp
7
Δ qp
8
Δ qp
9
Δ qp
10
Δ
qp
11
Δ
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 1
⒋ 求下列公式在真值赋值 下的值:
)0/,0/,1/,1/(
4321
pppp
⑴
)(
321
ppp ∧∨
⑵
))()(()(
4321321
ppppppp ∨∧∨¬∨∧∧
⑶
)))((()(
4321321
ppppppp ¬∧¬∨∧¬∨¬∨∧¬
⑷
4312
)( pppp ∨¬→¬↔
⑸
)()(
4231
pppp →¬∧↔
⑹
421321
)( pppppp ¬∨↔¬∧→∨
⑺
)()(
4231
pppp ⊕¬∧↔
解 记真值赋值 为
v
。 )0/,0/,1/,1/(
4321
pppp
⑴ 。
1)01(1))((
321
=∧∨=∧∨ pppv
⑵
1))00()11(()011()))()(()((
4321321
=∨∧∨¬∨∧∧=∨∧∨¬∨∧∧ pppppppv
⑶
))))((()((
4321321
pppppppv ¬∧¬∨∧¬∨¬∨∧¬
1)0)0)11(((0)11( =¬∧¬∨∧¬∨¬∨∧¬=
。
⑷
100)11())((
4312
=∨¬→¬↔=∨¬→¬↔ ppppv 。
⑸
0)01()01())()((
4231
=→¬∧↔=→¬∧↔ ppppv 。
⑹
101)101(1))((
421321
=¬∨↔¬∧→∨=¬∨↔¬∧→∨ ppppppv 。
⑺
0)01()01())()((
4231
=⊕¬∧↔=⊕¬∧↔ ppppv 。
5. 用真值表判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式。
(1) ))()(()( rqprqrp →∨→→→→
离散数学习题解答
2
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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(2) ppp ¬→¬→ )(
(3) ))(()( pqpqp →¬→→→
(4)
))()(())(( rpqprqp →→→→→→
(5)
rrqrpqp →→∧→∧∧ )()()(
(6)
)( qpp →¬∧¬
(7)
))(()( pqpqp ¬→¬→→→
解 (1), (2), (4), (5), (7)是永真式,(6)是永假式,(3)是非永真的可满足式。
6. 指出满足下列公式的所有真值赋值。
(1)
)()( rpqp ∨¬∨∧
(2)
))(( qprqp ∨∧¬∧∨
(3)
)()( rqrprp ∨∧∨¬→∨
(4)
)( rqp ↔⊕
解 (1) , , , ,
)0/,0/,0/( rqp )1/,0/,0/( rqp )0/,1/,0/( rqp )1/,1/,0/( rqp
, , 。
)1/,0/,1/( rqp )0/,1/,1/( rqp )1/,1/,1/( rqp
(2) , , , ,
)0/,1/,0/( rqp )0/,0/,1/( rqp )1/,0/,1/( rqp )0/,1/,1/( rqp
。
)1/,1/,1/( rqp
(3) , 。
)0/,0/,0/( rqp )0/,1/,0/( rqp
(4) , , , 。
)0/,0/,0/( rqp )1/,1/,0/( rqp )1/,0/,1/( rqp )0/,1/,1/( rqp
7. 若公式
A
既不是永真式,也不是永假式,则
A
的每个替换实例一定既不是永真式,也不是永假式。对吗?
解 不对。若
A
是非永真的可满足式,则它的替换实例中既有永真式,也有永假式,也有非永真的可满足式。
8.用真值表证明以下等值式。
(1)
(2)
(3)
(4)
9.用等值演算证明以下等值式。
(1)
)()( rpqrqp →→⇔→→
(2)
rqprpqp ∧→⇔→∧→ )()(
(3)
qrpqrqp →∧⇔→∨→ )()(
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创创大帝
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创创大帝
(4) )()( qpppqp →→¬⇔→→
(5) qrpqrqp →∨⇔→∧→ )()(
(6)
qpqp ¬↔⇔↔¬ )(
解 (1)
)()()()( rpqrpqrqprqp →→⇔∨¬∨¬⇔∨¬∨¬⇔→→
(2)
rqprqprpqprpqp ∧→⇔∧∨¬⇔∨¬∧∨¬⇔→∧→ )()()()()(
(3)
qrpqrpqrqpqrqp →∧⇔→∧¬⇔∨¬∨∨¬⇔→∨→ )()()(
(4)
)(1)( qppqpppqppqp →→¬⇔∨¬∨¬¬⇔⇔∨¬∨¬⇔→→
(5)
qrpqrqpqrqp ∨¬∧¬⇔∨¬∧∨¬⇔→∧→ )()()()()(
qrpqrp →∨⇔∨∨¬⇔ )(
(6)
qpqpqpqpqp ¬↔⇔¬⊕¬⇔⊕⊕⊕⇔⊕⇔↔¬ )(1))1(()(
10.用等值演算证明以下公式是永真式。
(1)
pqppq ↔→¬∧→ )()(
(2)
)()()( sqrpsrqp ∧→∧→→∧→
(3)
)()()()( srqpsprpqp ∨∨→→→∨→∨→
(4)
)()()( rqrprqp →∨→→→∨
解 (1)
pqppq ↔→¬∧→ )()(1)()( ⇔↔⇔↔¬∨∧∨¬⇔ pppqppq
(2)
)()()( sqrpsrqp ∧→∧→→∧→
sqrpsrqp ∧→∧∧∨¬∧∨¬⇔ )()(
sqrsrpqp ∧→∧∨¬∧∧∨¬⇔ )()(
1⇔∧→∧∧∧⇔ sqrspq
(3)
)()()()( srqpsprpqp ∨∨→→→∨→∨→
)( srqpsprpqp ∨∨→→∨¬∨∨¬∨∨¬⇔
1⇔∨∨∨¬→∨∨∨¬⇔ srqpsrqp
(4)
)()()( rqrprqp →∨→→→∨
rqrprqp ∨¬∨∨¬∨∨∨¬¬⇔ ))((
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创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
rqprqp ∨¬∨¬∨¬∧∨⇔ ))((
111)()( ⇔∧⇔∨¬∨¬∨¬∧∨¬∨¬∨∨⇔ rqprrqpqp
11.用等值演算证明以下公式是永假式。
(1) pqppq ¬↔→¬∧→ )()(
(2)
)()()( rprqqp →¬∧→∧→
解 (1)
pqppq ¬↔→¬∧→ )()(0)()( ⇔¬↔⇔¬↔¬∨∧∨¬⇔ pppqppq
(2)
)()()( rprqqp →¬∧→∧→ )()()( rprqqp ∨¬¬∧∨¬∧∨¬⇔
rprqqp ¬∧∧∨¬∧∨¬⇔ )()())(())(( rrqpqp ¬∧∨¬∧∧∨¬⇔
0⇔¬∧¬∧∧⇔ rqqp
12.找出与下列公式等值的尽可能简单的由 生成的公式。
},{ ∧¬
13.找出与下列公式等值的尽可能简单的由 生成的公式。
},{ ∨¬
(1)
)( prqp →¬∧¬∧¬
(2)
qprqp ∧¬∧¬∨→ )(
(3)
p
q
p
¬∧∧
解 (1)
)( prqp →¬∧¬∧¬ )( prqp ∨¬¬∧¬∧¬⇔
)()( pqprqp ∧¬∧¬∨¬¬∧¬∧¬⇔
r
q
p
¬¬∧¬∧¬⇔ )( rqp ¬∨∨¬⇔
(2)
))(()()( qprqpqprqpqprqp ¬∨∨¬∨∨¬¬¬⇔∧¬∧¬∨∨¬⇔∧¬∧¬∨→
(3)
)( pqppqp ∨¬∨¬¬⇔¬∧∧
14.设
A
是由 生成的公式。证明:
A
是永真式当且仅当每个命题变元在
A
中出现偶数次。 }{↔
证明 首先证明:若
A
是由 生成的仅出现一个命题变元
p
的公式,则 }{↔
⎩
⎨
⎧
⇔
中出现奇数次在若
中出现偶数次在若
App
Ap
A
1
对
p
在
A
中的出现次数进行归纳。
① 若
p
在
A
中出现1次,即
A
为
p
,显然 。 pA ⇔
② 若
p
在
A
中出现2次,即
A
为
p
p
↔ ,显然 。
1⇔A
③ 设
p
在
A
中的出现
n
次,
A
为 ,
p
在
B
,
C
中的出现次数分别为
k
和
l
,则CB ↔ lkn += , 且 。若
n
为偶数,则
k
和
l
的奇偶性相同,
B
和
C
等值于同一公式, 。若
n
为奇数,则
k
和
l
的奇偶性不同,
B
和
C
中一个等值于
p
,另一个是永真式,因此
nk < nl <
1⇔A
离散数学习题解答
5
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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