完成击杀所用攻击次数期望的计算
在数值设定过程中,往往要计算完成击杀所用攻击次数的期望,比如下面的具体问题:
假设游戏中某人物单次攻击力是
0,1
上均匀分布的随机值,求:击杀一个生命值为的
怪物,所需要进行攻击次数的数学期望
。
首先,需要指出的是,不能用
来计算。道理很简单,在最后一刀击杀目标的时候,总伤害量一般要溢出。
一、一般情况
先把具体问题放下,讨论更为普遍(无论连续还是离散)的情形。
假设正好攻击次将目标击杀,计算此事件对应的概率
,那么次数期望就是:
∙
为了计算
,首先把单次攻击伤害的分布函数计作
。
并记:
…
∙
∙…∙
∙
∙…∙
其意义为“次攻击后仍不能将目标击杀的概率”。积分区域:
那么,对上面的积分式子求卷积,可得:
∙
,
,
根据变换的卷积性质和微分性质,可得:
再根据一开始
和
的定义可知:
,
,
那么:
∙
∙
两边取变换,得到:
上式两边取反变换: