贝塞尔曲线与曲面的数学模型_贝塞尔曲线和b样条曲线资源-CSDN文库

贝塞尔曲线

4星 · 超过85%的资源需积分: 13 94 浏览量 2011-12-19 14:27:31 上传评论 1 收藏 47KB DOC 举报

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贝塞尔曲线与曲面的数学模型

作者: the_venus

贝塞尔曲线与曲面是在工业制图中的一种应用十分广泛的平滑曲线与曲面的画法。下面通

过数学来讲解其原理。

1.曲线

让我们先看一个式子,假设 s`=1-s,显然有以下式子成立：

s+s`=1

读者肯定会想，那当然，小学生都懂的，还得拿过来讲呀。好吧，接着往下看，你就会逐

渐接触到该式的神奇的魅力了。

我们先在个平面上面取两个不相同的点 P1（x1,y1）与 P2(x2,y2)，那么在 P1 与 P2 两个点

所确定的直线上的点 P(x,y)是不是就可以如下表示了：

P1*s+P2*s`=P

只要稍有一点解析几何的知识，就会明白，那是当然的了。但是这个跟贝塞尔曲线有什么

关系呢。在这里我要说明的一点是，其实直线就是贝塞尔曲线的一种，是一维的贝塞尔尔

曲线。

将上式展开就有了以下两式了：

x=x1*s+x2*s`

y=y1*s+y2*s`

于是当我们已知 P1 与 P2 时，给定 s 的值就可以计算出 P 的坐标了。在这里 P1 与 P2 就是

控制点。

再接着往下看,将 s+s`=1,一式两边平方得到(s+s`)

2

=1,相信大家都会说，那是。讲到这里，聪

明的你已经猜得出一点眉目了吧。是不是有一种想把左边展开的冲动呀，对了，就是这么

做的, 我们把它展开得到：

s

2

+2ss`+s`

2

=1

下面就是见证这个式子的魅力的时刻了！

与上边同样，我们先在一个平面上取不相同的三个点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)与 P3(x3,y3),则以

P1，P2 与 P3 为控制点的贝塞尔曲线上的点 P(x,y)可以如下表示：

P1*s

2

+P2*2ss`+P3*s`

2

=P

很神奇是吧！相信大家看到这里都激动万分！好了，保持镇定，接着往下看：

在这里我们再将它展开得到：

x=x1*s

2

+x2*2ss`+x3*s`

2

y=y1*s

2

+y2*2ss`+y3*s`

2

当 s=0 时，P=P，当 s=1 时 P=P3，当 0<s<1 时，P 点在 P1 与 P3 之间，但是并不在一条直线

上，而偏向 P2，所以在我们看来 P2 好像有磁力一样，将曲线吸向它，当 P2 发生变化时，

曲线也会发生变化，是不是很神奇呀。

上面讲到的就是二次贝塞尔曲线的方程，那么三次呢，有人聪明的你肯定会相到下式：

(s+s`)

3

=1

展开得到

s

3

+3s

2

s'+3ss'

2

+s'

3

=1

在平面上取四个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)与 P4(x4,y4),相信聪明的你能够很快

写出其贝塞尔曲线方程：

P1*s

3

+P2*3s

2

s'+P3*3ss'

2

+P4*s'

3

=P

那你就值得恭喜了！下面来总结一下平面上的 n 次贝塞尔曲线的方程：

由

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内容反馈

wenchangxing

2013-03-29

不错，数学推导得不错，有点数学基础的都看得懂，就是把数学全忘光了。有代码就更好了
tt_137062185

2013-03-14

介绍的与真正程序能用的还差得远
mmyyeee

2013-03-26

只有数学原理，没有代码啊
fandongwei

2015-06-22

纯推导，复习一下。。。
devil1993

2012-12-25

对于初学者来说有点难了....

the_venus

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