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经典趣味算法
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2015-03-19
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一些有趣的程序算法,如汉诺塔,八皇后,排序查找,魔方阵等等
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1
1.汉若塔
说明河内之塔(Towers of Hanoi)是法国人 M.Claus(Lucas)于 1883 年从泰国带至法国的,河内为
越战时北越的首都,即现在的胡志明市;1883 年法国数学家 Edouard Lucas 曾提及这个故事,
据说创世纪时 Benares 有一座波罗教塔,是由三支钻石棒(Pag)所支撑,开始时神在第一根
棒上放置 64 个由上至下依由小至大排列的金盘(Disc),并命令僧侣将所有的金盘从第一根
石棒移至第三根石棒,且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则,若每日仅搬一个盘子 ,
则当盘子全数搬运完毕之时,此塔将毁损,而也就是世界末日来临之时。
解法如果柱子标为 ABC,要由 A 搬至 C,在只有一个盘子时,就将它直接搬至 C,当有两个
盘子,就将 B 当作辅助柱。如果盘数超过 2 个,将第三个以下的盘子遮起来,就很简单了,
每次处理两个盘子,也就是:A->B、A ->C、B->C 这三个步骤,而被遮住的部份,其实就是
进入程式的递回处理。事实上,若有 n 个盘子,则移动完毕所需之次数为 2^n - 1,所以当盘
数为 64 时,则所需次数为:264- 1 = 18446744073709551615 为 5.05390248594782e+16 年,也
就是约 5000 世纪,如果对这数字没什幺概念,就假设每秒钟搬一个盘子好了,也要约 5850
亿年左右。
#include <stdio.h>
void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
if(n == 1) {
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
}
else {
hanoi(n-1, A, C, B);
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
hanoi(n-1, B, A, C);
}
}
int main() {
int n;
printf("请输入盘数:");
scanf("%d", &n);
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
return 0;
}
2
2.费式数列
说明
Fibonacci 为 1200 年代的欧洲数学家,在他的着作中曾经提到:「若有一只免子每个月生一只
小免子,一个月后小免子也开始生产。起初只有一只免子,一个月后就有两只免子,二个月
后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......。
如果不太理解这个例子的话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入
生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是 Fibonacci 数列,一般习惯称之为费氏数列,
例如以下: 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明,我们可以将费氏数列定义为以下:
fn = fn-1 + fn-2 if n > 1
fn = n if n = 0, 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 20
int main(void) {
int Fib[N] = {0};
int i;
Fib[0] = 0;
Fib[1] = 1;
for(i = 2; i < N; i++)
Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
for(i = 0; i < N; i++)
printf("%d ", Fib[i]);
printf("\n");
return 0;
}
3. 巴斯卡三角形
3
#include <stdio.h>
#define N 12
long combi(int n, int r){
int i;
long p = 1;
for(i = 1; i <= r; i++)
p = p * (n-i+1) / i;
return p;
}
void paint() {
int n, r, t;
for(n = 0; n <= N; n++) {
for(r = 0; r <= n; r++) {
int i;/* 排版设定开始 */
if(r == 0) {
for(i = 0; i <= (N-n); i++)
printf(" ");
}else {
printf(" ");
} /* 排版设定结束 */
printf("%3d", combi(n, r));
}
printf("\n");
}
}
4.三色棋
4
说明
三色旗的问题最早由 E.W.Dijkstra 所提出,他所使用的用语为 Dutch Nation Flag(Dijkstra 为荷
兰人),而多数的作者则使用 Three-Color Flag 来称之。
假设有一条绳子,上面有红、白、蓝三种颜色的旗子,起初绳子上的旗子颜色并没有顺序,
您希望将之分类,并排列为蓝、白、红的顺序,要如何移动次数才会最少,注意您只能在绳
子上进行这个动作,而且一次只能调换两个旗子。
解法
在一条绳子上移动,在程式中也就意味只能使用一个阵列,而不使用其它的阵列来作辅助,
问题的解法很简单,您可以自己想像一下在移动旗子,从绳子开头进行,遇到蓝色往前移,
遇到白色留在中间,遇到红色往后移,如下所示:
只是要让移动次数最少的话,就要有些技巧:
如果图中 W 所在的位置为白色,则 W+1,表示未处理的部份移至至白色群组。
如果 W 部份为蓝色,则 B 与 W 的元素对调,而 B 与 W 必须各+1,表示两个群组都多了一个
元素。
如果 W 所在的位置是红色,则将 W 与 R 交换,但 R 要减 1,表示未处理的部份减 1。
注意 B、W、R 并不是三色旗的个数,它们只是一个移动的指标;什幺时候移动结束呢?一开
始时未处理的 R 指标会是等于旗子的总数,当 R 的索引数减至少于 W 的索引数时,表示接下
来的旗子就都是红色了,此时就可以结束移动,如下所示:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define BLUE 'b'
#define WHITE 'w'
#define RED 'r'
#define SWAP(x, y) { char temp; \
temp = color[x]; \
color[x] = color[y]; \
color[y] = temp; }
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qq_21490651
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