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离散数学部分讲义（高教版）
离散数学部分讲义（高教版）
离散数学
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离散数学 我们老师的讲义，供大家传阅。 致谢
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1
1
§6.4
§6.4
子群及其陪集
子群及其陪集
6.4.1
6.4.1
子群的定义
子群的定义
6.4.2
6.4.2
子群的判别条件
子群的判别条件
6.4.3
6.4.3
循环群
循环群
6.4.4
6.4.4
陪集
陪集
2
2
§6.4.1
§6.4.1
子群的定义
子群的定义
定义
定义
6.4.1
6.4.1
设
设
(G
(G
，
，
·)
·)
是一个群，
是一个群，
H
H
G
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，
，
如果
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(
(
H
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，
，
·)
·)
仍是一个群，则
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(H
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，
，
·)
·)
叫做
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(G
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，
，
·)
·)
的
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子群
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。如果
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G
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的一个子群
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H
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不等
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于
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G
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，
，
即
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H
H
G
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，
则
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(H
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，
，
·)
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叫做
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(G
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，
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·)
·)
的
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真子群
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。
。
注：
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G
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的子群
的子群
H
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的运算必须与
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G
G
的运算一
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样。比如，
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(C
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*
*
，
，
·)
·)
不是
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(C
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，
，
+)
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的子群。
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3
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例：
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(mZ
(mZ
，
，
+)
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是整数加法群
是整数加法群
(Z
(Z
，
，
+)
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的一个子
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群，其中
群，其中
m
m
为整数。
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(C
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，
，
+)
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以
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(R
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，
，
+)
+)
、
、
(Q
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，
，
+)
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、
、
(Z
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，
，
+)
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为其真子群。
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(C
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*
*
，
，
·)
·)
以
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(R
(R
*
*
，
，
·)
·)
、
、
(Q
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*
*
，
，
·)
·)
为其真子群。
为其真子群。
行列式等于
行列式等于
1
1
的所有
的所有
n
n
阶矩阵作成实数域
阶矩阵作成实数域
上所有
上所有
n
n
阶非奇异矩阵的乘法
群的一个真
阶非奇异矩阵的乘法
群的一个真
子群。
子群。
n
n
次交代群是
次交代群是
n
n
次对称群的一个真子
群。
次对称群的一个真子
群。
4
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平凡子群
平凡子群
任一群
任一群
G
G
都有两个明显的子群，称为
都有两个明显的子群，称为
G
G
的
的
平凡子群
平凡子群
；
；
1
.
1
.
由其单位元素组成的子群
由其单位元素组成的子群
{1}
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，称为
，称为
G
G
的
的
单位子群
单位子群
；
；
2.
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G
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本身。
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其余的子群
其余的子群
(
(
如果有的话
如果有的话
)
)
称为
称为
非平凡
非平凡
子群
子群
。
。
5
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§6.4.2
§6.4.2
子群的判别条件
子群的判别条件
判别条件一
判别条件一
定
理
定
理
6.4.1
6.4.1
群
群
G
G
的
一
个
子
集
的
一
个
子
集
H
H
是
是
G
G
的
一
的
一
个子群的充分必要条件是：
个子群的充分必要条件是：
1)
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若
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a
H
∈
a
H
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，
，
b
H
∈
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，
，
则
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ab
H
∈
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；
；
2)
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若
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H
∈
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，
则
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a
a
-1
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H
∈
H
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；
；
3) H
3) H
非空。
非空。
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