第 ｌ０卷 第 ｌ期
加Ｏ８年１月 鼹恭衙＠ Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．１
Ｊａｎ．２００８
基于对称分步傅立叶算法的光孤子仿真
施 娟
（南京邮 电大学光电工程学院，江 苏 南京 ２１０００３）
摘 要 ：基 于对 称分 步傅 立 叶算 法对 非 线性 薛定谔 方 程 的求 解 ，并利 用Ｍａｔｌａｂ对二 阶 、三阶
亮孤子 和基 态暗孤 子 的传输 演化进 行 的仿 真 ，研 究 了三 阶 色散 对 亮孤子 传输 的影 响及 亮孤 子
间的相 互作 用 ．指 出了用Ｍａｔｌａｂ进行 光 学仿 真 时需要 注意 的事项 。
关键词 ：光孤 子 ；对称分 步傅 立叶法 ；非 线性 薛定谔 方程 ；光 学仿 真
Ｏ 引言
描述 光孤 子在 光纤 中传输 的非线性 薛 定谔 方
程 （ＮＬＳＥ）是一个 高 阶非线 性 偏微 分方 程 ，一般
情 况下 ．对其 求解 析解 比较 困难 。但 随着 计算 机
技术 和相 关软 件 的发展 ．用数 值 方法模 拟 光孤 子
在 光纤 中 的传 输演 化就 变得 比较 简单 。为 此 ，笔
者 采用 对称 分步 傅立 叶 算法 对ＮＬＳＥ进行 了求解 ，
并 用 Ｍａｔｌａｂ编 写 了仿 真 程 序 ．从 而 得 到 了二 阶 、
三 阶亮孤 子和 基态 暗孤 子 的传 输演 化 图 ．并进 而
研究 了三 阶色 散对亮 孤 子传输 的影 响及 亮 孤子 间
的相 互 作 用 。最后 指 出 了在 用Ｍａｆｌａｂ进 行光 学 仿
真 时需要注 意 的问题 。
１ 对称分步傅立 叶算法
一
般情 况下 ，如 果把 光波 场用 负频 表 示 ，则
其 电场强度 可表示 为 ：
Ｅ（ｒ， ＝ Ｉ －｛ ，ｔ）ｅｘｐ［ｉｑ３ｏＺ－Ｗｏｔ）］＋ｃ．ｃ．｝ （１）
描 述光 脉冲传输 的非 线性薛 定谔 方程 为 ：
ＯＵ＋号 ｚ 一 ， （２）
其中，Ｕ－－Ａ（ ， ／、／ 是归一化慢变振幅，
Ｆ 是光场 的横 向分布 ， 是 波数 ，埘。是 光波
中心 频 率 ，Ｔ＝ｔ ｚ， 是光纤 损 耗 ，卢：是二 阶 色
散 ， 是 三 阶色 散 ，ｙ是 非线 性 系数 。而 其 孤 子
阶数舰 ０应满足 ：
收稿 日期 ：２００７—０７—１２
Ｊ７、７２＝ ＝等
式 中 ， 。和 Ｌ分别表示 色散 距离和 非线性 距离 。
一
般 来说 ．沿 光纤长 度方 向的色散 和 非线性
是同时作 用的。分 步傅立叶方 法一般假 定在传输
过程 中 ．光 场每 通过 一小 段 距离ｄｚ，其 色散 和 非
线性 效应 可分 别作 用 ，从 而得 到近 似结 果 。 当步
长 ｄｚ足 够 小 时 ，这 种 分 析 具 有 足 够 的精 度 。 至
此 ，·方程 （２）可 以写 成下 面 的形式 ：
ｏ
＿
ｕｕ
＝ ＋
其 中 ， 和 为差分 算符 ， 表 示色 散项 和损
耗项 ． 表示 非线性 项 。它 们可表示 为 ：
一
寺＋ ， 一号 （５）
＾ ｙＰ０ （６）
当 与ｚ无关 时 ，方 程 （４）的精确解 为 ：
Ｕ（ｚ＋ｄｚ， ＝ｅｘｐ［ ＋ ］ ＝， （７）
根 据 两 非 对 易 算 符 的Ｂａｋｅｒ—Ｈａｕｓｄｏｆｆｆ公 式 ．
当忽略 和 的对 易性 时 ，方程 （４）的解 为 ：
Ｕ（ｚ＋ｄｚ，Ｔ）＝ｅｘｐ（Ｄｄｚ）ｅｘｐ（Ｎｄｚ）Ｕ（ｚ， （８）
可见 。用分 步傅立叶算 法可精确 到步长 的
二 阶项 。这 种方 法就是 传统 的分 步傅 立 叶法 ，而
对 称分 步傅 立 叶法则采 用 一个不 同 的步骤 来使 光
脉 冲从ｚ到ｚ＋ 一 小 段 内传输 。该 方 法 在 前 一 个
ｄｚ／２内只考 虑 色散 ，在 中间 只考 虑非 线性 ，在 后
一
个ｄｚ／２又 只考虑 色散 。
撕 ｅｃｄ以ｃｎ ２００８．１ 电 子 元 嚣 件 主 用 ７３
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