第五章 特征值的估计
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第五章 特征值的估计
§5.1 特征值估计
一、特征值的上界
Th1
{}
2
1
,
)1(
2
1
)Im(max
2
1
,R
−≤⇒−⋅=∈
×
nnMaaMA
Ajiij
ji
nn
λ
证明略去.
例1 A 是实对称矩阵
nn×
(
)
R,0Im
∈
=
⇒
AA
λ
λ
即
.
引理 1
∀
满足
()
=∀=
×
n
nn
ij
ybB
η
η
M
1
,
∞
≤⇒=
m
BByyy
H
2
1
.
证
j
ji
iij
ji
ji
jiij
bbByy
ηηηη
∑∑
⋅≤=
,
,
,
H
max
()
∞
=+⋅=
+⋅≤
∑
m
ij
ji
ji
jiij
ji
Bnnbb
2
1
max
2
1
max
,
,
2
2
,
ηη
Th2 ,
nn
A
×
()
∞
∞
+≤≤
m
A
m
A
AAA
H
2
1
Re,
λλ
,
()
∞
−≤
m
A
AA
H
2
1
Im
λ
．
证 设 A 的特征值为
λ
，特征向量 满足x
1
2
=x
, 则
xAxAxxxAx
HHH
, ==⇒=
λλλ
(1)
∞
≤=
m
AAxx
H
λ
(2)
()
()
∞
+≤+=⇒+=+
m
AAxAAx
HHH
2
1
2
1
Re
λλλλλ
(3)
()
()
∞
−≤−=⇒−=−
m
AAxAAx
HHH
2
1
2
1
Im
λλλλλ
例2
A
()
R,0Im
H
∈=⇒=
AA
A
λλ
即.
是纯虚数或零．
()
AA
AA
λλ
即,0Re
H
=⇒−=
Th4
(
)
22
2
2
12121
,,,
nnnnn
aaaaaaA LLL ≤⇒=
×
λλλ
.
