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The CVX Users’ Guide

Release 2.1

Michael C. Grant, Stephen P. Boyd

CVX Research, Inc.

October 02, 2016

CONTENTS

1 Introduction 1

1.1 What is CVX? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 What is disciplined convex programming? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 A quick start 9

3.1 Least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Bound-constrained least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Other norms and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Other constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 An optimal trade-off curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 The Basics 19

4.1 cvx_begin and cvx_end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Objective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1 A taxonomy of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Top-level rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Expression rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.5 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.6 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.7 Monotonicity in nonlinear compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

5.8 Scalar quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Semidefinite programming mode 39

8.2 Selecting a solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.3 Controlling screen output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.4 Interpreting the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.5 Controlling precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.6 Advanced solver settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 Reference guide 53

9.1 Arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.2 Built-in functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.3 New functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.5 CVX Professional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11 Advanced topics 67

11.1 Eliminating quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11.2 Indexed dual variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11.3 The successive approximation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.4 Power functions and p-norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.5 Overdetermined problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.6 Adding new functions to the atom library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12 License 77

12.1 CVX Professional License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ii

14 Credits and Acknowledgements 83

15 Using Gurobi with CVX 85

15.1 About Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

15.2 Using the bundled version of Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

15.3 Using CVX with a standalone Gurobi installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

15.4 Selecting Gurobi as your default solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

15.5 Obtaining support for CVX and Gurobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

16 Using MOSEK with CVX 89

16.1 About MOSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

16.2 Using the bundled version of MOSEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

16.3 Using CVX with separate MOSEK installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

16.4 Selecting MOSEK as your default solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Index 93