素数环原代码（加注释）

回溯法也称试探法，它的基本思想是：从问题的某一种状态（初始状态）出发，搜索从这种状态出发所能达到的所有“状态”，当一条路走到“尽头”的时候（不能再前进），再后退一步或若干步，从另一种可能“状态”出发，继续搜索，直到所有的“路径”（状态）都试探过。这种不断“前进”、不断“回溯”寻找解的方法，就称作“回溯法”。 用回溯算法解决问题的一般步骤为： 　　一、定义一个解空间，它包含问题的解。 　　二、利用适于搜索的方法组织解空间。 　　三、利用深度优先法搜索解空间。 　　四、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。 　回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题. 回溯的设计 　　1.用栈保存好前进中的某些状态. 　　2.制定好约束条件 　　【例1】从1到X这X个数字中选出N个，排成一列，相邻两数不能相同，求所有可能的排法。每个数可以选用零次、一次或多次。例如，当N=3、X=3时，排法有12种：121、123、131、132、212、213、231、232、312、313、321、323。 　　【分析】以N=3，X=3为例，这个问题的每个解可分为三个部分：第一位，第二位，第三位。先写第一位，第一位可选1、2或3，根据从小到大的顺序，我们选1；那么，为了保证相邻两数不同，第二位就只能选2或3了，我们选2；最后，第三位可以选1或3，我们选1；这样就得到了第一个解"121"。然后，将第三位变为3，就得到了第二个解"123"。此时，第三位已经不能再取其他值了，于是返回第二位，看第二位还能变为什么值。第二位可以变为3，于是可以在"13"的基础上再给第三位赋予不同的值1和2，得到第三个解"131"和"132"。此时第二位也已经不能再取其他值了，于是返回第一位，将它变为下一个可取的值2，然后按顺序变换第二位和第三位，得到"212"、"213"、"231""232"。这样，直到第一位已经取过了所有可能的值，并且将每种情况下的第二位和第三位都按上述思路取过一遍，此时就已经得到了该问题的全部解。 　　由以上过程可以看出，回溯法的思路是：问题的每个解都包含N部分，先给出第一部分，再给出第二部分，……直到给出第N部分，这样就得到了一个解。若尝试到某一步时发现已经无法继续，就返回到前一步，修改已经求出的上一部分，然后再继续向后求解。这样，直到回溯到第一步，并且已经将第一步的所有可能情况都尝试过之后，即可得出问题的全部解。