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裘宗燕从问题到程序（2003 年修订），第四章，基本程序设计技术

第四章基本程序设计技术

读者在学习中应已试验了一些程序示例，做了些练习。写程序的过程中确实要处理许多

琐碎细节，但它又是很有趣的工作，是对智力的挑战。为完成一个程序，首先要分析问题、

寻找解决方案，需要聪明才智和想象力，各种相关领域的知识和技术都可能得到应用。要把

设计变成现实，变成可执行的程序，则既需要智力发挥，又需要有条有理的工作，还需要极

端细心。一个小错就可能使程序无法编译或不能正确执行。当然，高度精确性也是现代社会

的特征，写程序的过程能给读者许多有价值的体验。

学习程序设计都需要经历类似的熟悉过程，但并不是说这里的学习就是简单经验积累，

也不意味着程序做多了就一定能做好。多年实践使人认识到程序设计的许多规律性，总结出

许多模式、方法和技术，也进一步研究了许多理论问题。

学习程序设计，一开始就应该注意程序设计中的规律性。正确的好的程序不可能随随便

便写出来，也不应该是修修补补改出来的。只有注意写好小程序，弄明白最基本的道理，才

能进一步写出更大更复杂的程序。这些都是本书各章中特别强调的问题。

在进一步了解 C 语言的其他功能之前，我们应学会把已知的东西应用于实际程序设计，

这就是本章的目的。前面讨论了三种结构化流程模式和相关语言结构。顺序模式最简单，很

容易用复合语句实现。选择模式的最重要问题就是正确描述条件，考虑不同条件下应完成的

动作，用条件语句实现也不困难。学习程序设计初期的主要难点是重复执行模式，它比较复

杂，用循环实现时牵涉到的问题较多，这是本章讨论的重点。此外本章还要讨论基本输入输

出，采用递归的方式编程，并介绍 C 语言的其他控制结构和控制语句。

4.1 循环程序设计

写出写好循环首先要发现计算过程中可能需要（应该用）循环。在分析问题时，应注意

识别计算过程中需要重复执行的类似动作，这常常是重要线索，说明可能需要引进一个循环，

统一描述和处理这些重复性动作。常见如：需要一批可以按统一规律计算的数据；需要反复

从一个结果算出另一结果；需要对一系列类似数据做同样处理等等。这些情况都可看着重复

性计算，如果重复次数多，或次数无法确定，就应考虑用循环结构描述。

从发现重复性动作到建立起一个循环结构，还需考虑和解决许多具体问题。通常包括：

循环中涉及哪些变量？循环开始前应给它们什么初值？循环中这些变量应如何改变？在什

么情况下应该继续（或应该终止）循环？循环终止后如何得到所需结果？如此等等。具体问

题还包括使用语言里的哪种结构实现循环等。

本节将讨论一批程序设计实例，描述的各种典型循环程序设计问题。对于许多实例都采

用了首先分析问题，发掘完成程序的线索，最终完成能解决问题的程序的叙述方式。这样讨

论是为使读者能看到“从问题到程序”的思维过程。对许多例子给出了多个能解决问题的不

同程序，并着重说明其差异或优缺点。这样做是希望读者能理解：程序设计不是教条，即使

对一个典型问题，也没有需要背的标准解答。非极端简单的问题总有许多种解决方法，可以

写出出许多有着或多或少形式的或实质的差异程序。许多程序往往各有长短。当然，能写出

多个程序，并不说明这些程序都有同等价值。实际上，“正确的”程序也常有优劣之分。下

面讨论里也会提出一些看法。

4.1.1 基本循环方式

假设现在要求出从 13 到 315 的所有整数之和。显然的解法是写一个循环，这时需要用

裘宗燕从问题到程序（2003 年修订），第四章，基本程序设计技术

一个变量保存求出的和，计算过程中用它保存部分和。循环中顺序将各个数加上去，直至所

有的数加完了，部分和就变成了完全和。为此实现这一循环，还就需要一个变量保存应加入

的数的轨迹，每次重复时将这个变量加 1。这正好是 for 语句的循环形式。

假定已经定义了名为 sum 总和变量和名为 n 的循环变量。n 的取值应包括 [13, 213] 范

围中所有的整数。一种典型实现方式称为向上循环，即让循环变量 n 从最小值开始逐步增加，

直至达到取值范围的最大值。这样写出的循环具有如下形式：

for (sum = 0, n = 13; n <= 315; ++n)

sum += n;

对于这个问题，同样可以采用向下循环的方式：

for (sum = 0, n = 315; n >= 13; --n)

sum += n;

对于这个具体问题而言，采用向上或者向下循环的效果完全一样。许多其他循环的情况与此

类似，都可以自由选择向上或者向下的方式。在这种情况下，人们一般采用向上循环的方式，

因为这种方式似乎更符合人的习惯。也确实存在一些循环，对它们必须采用某种特定循环方

式，否则就会导致程序错误。今后读者会遇到这样的例子。

完全可以用 while 语句重写上述循环。实际上，while 语句和 for 语句具有同样表

达能力，用 for 循环表述的代码都可等价地翻译为用 while 语句写的代码，反之亦然。

有时我们需要的不是一个范围内的所有整数值，而是具有同等间隔的值。例如，需要求

出 [13, 315] 间每隔 7 的各个整数之和。写出相应数学公式并不难（上例也一样），采用循环

语句写也很简单：

for (sum = 0, n = 13; n <= 315; n += 7)

sum += n;

在写循环时，人们一般不赞成采用浮点数控制循环的次数，尤其是在增量为小数或者包

含小数时。例如，假设我们需要求从 0 到 100，每隔 0.2 的各数的平方和：

double sum, x;

for (sum = 0.0, x = 0.2; x <= 100.0; x += 0.2)

sum += x * x;

因为浮点数运算有误差，我们不能保证这一循环恰好重复了 500 次，因此就不能保证它一定

得到所需结果。这一循环的正确写法是：

int n;

double sum, x;

for (sum = 0.0, n = 1; n <= 500; ++n) {

x = 0.2 * n;

sum += x * x;

}

关于浮点误差的问题，下面还有更详细的讨论。

4.1.2 求出一系列完全平方数

问题：写一个程序，打印出 1 到 200 之间的所有完全平方数，即那些是另一个数的平方

的数。通过分析可以发现，这样一个简单问题也有许多不同解法。

第一种方法

一种最显然的方法是逐个检查 1 到 200 的所有整数，遇到完全平方数时就打印。这一计

算过程中有一系列重复动作（每次检查一个数），可以用循环描述。循环中用一个变量，顺

序取被检查的那些值，从 1 开始每次加 1。这样就可以得到所需循环的基本框架：

for (n = 1; n <= 200; ++n)

if (n 是完全平方数) 打印 n;

这里假设 n 是已有定义的整型变量，循环中它遍历从 1 到 200 的各个值。这种循环特别适合

用 for 语句描述。

上面只是一个程序框架，其中有些部分还不是用程序语言精确描述的，需要在随后的工

裘宗燕从问题到程序（2003 年修订），第四章，基本程序设计技术

作中填充。显然打印语句很容易，剩下的问题就是条件语句中的判断。由于 C 语言没有直

接判断一个数是否为完全平方数的手段，这个问题还需要做进一步分析。

假设被考查的整数是 n，一种可能方式是从 1 开始检查各个整数，看是否有一个数的平

方正好为 n。如果有，n 就是完全平方数；否则 n 就不是完全平方数。这个过程又构成一个

循环（循环里的循环），需要用另一变量（例如 m）记录检查中所用的值。这就又产生了问

题：m 取值从那里开始，什么条件下应当继续（或结束）。显然 m 应从 1 开始取值，而一旦

其平方大于 n 就没有必要继续检查了，因为更大的数不会是 n 的平方根。

这样可以写出内部循环如下：

for (m = 1; m * m <= n; ++m)

if (m * m == n) 打印 n;

循环中至多只有一个值的平方等于 n。如果 n 是完全平方数，这个值就会打印一次，且仅仅

一次。把这些代码组合起来，就可以得到下面的程序：

#include <stdio.h>

main () {

int m, n;

for (n = 1; n <= 200; ++n)

for (m = 1; m * m <= n; ++m)

if (m * m == n)

printf("%d ", n);

printf("\n"); /* 最后换一行 */

}

第二种方法

这里要求打印 1 到 200 间的所有完全平方数，它们一定是从 1 开始的一些整数的平方。

由这个想法可以得到另一种解决方案：用一个循环计数变量 n，从 1 开始逐个打印 n 值的平

方，直到 n 的平方大于 200 为止。最后这句话也就是循环结束条件。按这种想法写出的程

序更简单，只需一层循环。用 for 语句写出的程序主要部分如下：

for (n = 1; n * n <= 200; ++n)

printf("%d ", n * n); /* 注意应当打印什么 */

不难将以它为基础写出一个程序，这件事留给读者完成。

还有一种可能的方法是递推。不难发现，平方数序列具有如下递推关系：

++=

αα

利用这个公式可以写出另一程序，还可以写出只用加法的程序。这些也请读者考虑。

从这个例子可以看到：即使是很简单的问题，也可能有许多不同的求解途径，写出的程

序大相径庭。如果对问题做细致深入的分析，就可能发现许多解决问题的线索。

4.1.3 判断素数（谓词函数）

问题：写一个函数，判断一个整数（参数）是否为素数。

判断只有成立和不成立两种情况，完成判断的函数是一类特殊函数（也称为谓词），它

们的返回值被作为逻辑值使用，通常用来控制程序流程，或放在条件表达式的控制部分。人

们通常令判断函数返回 0 或 1，用 1 表示判断成立（在这里表示是素数），0 表示判断不成立

（不是素数）。这样，要定义的函数的类型特征可以取定为：

int isprime(int)

判断一个数（例如 n）是否素数有许多高级的数学方法，这里只考虑最直接而简单的方

法，就是设法确定它有无真因子。m 整除 n 可以用条件(n%m == 0)描述，如果 m<n 而且

m 不是 1，那它就是真因子了。这样，检查素数的最简单方法就是令变量 m 由 2 开始递增取

裘宗燕从问题到程序（2003 年修订），第四章，基本程序设计技术

值，一个个试除 n。这可以通过一个循环完成。

下一个问题是 m 试除到什么时候结束。显然，试完所有小于 n 的值能保证不会漏掉任

何可能性。稍加分析不难看出，只要试到 m*m>n 就够了，继续试下去已经没有意义（这一

论断的合理性请读者考虑）。有了上述分析，写出下面定义已经很自然了：

int isprime (int n) { /* 判断一个数是否素数 */

int m = 2;

for ( ; m * m <= n; ++m)

if (n % m == 0) return 0; /* 发现因子，不是素数 */

return 1; /* 可能性均考虑过，没有因子，是素数 */

}

发现 n 的一个因子已经可以做出结论，不必继续循环了。代码中的 return 语句导致函数

结束，也使函数体里的循环结束。这是一种从循环中退出的方式。

这个函数定义还有不完善之处，例如，它对 1 将给出“是素数”的判断。对 0 和负数也

会给出不合理结果。解决这些问题并不难，只要在循环前加上特殊情况处理。例如：

if (n <= 1) return 0;

在写一个程序（或一个函数）之前，首先应该仔细分析需要考虑的情况。完成之后还应该仔

细检查，看看是否有什么遗漏。如果事先分析周全，应该能看到这些问题。

4.1.4 艰难旅程（浮点误差）

问题：假定有一只乌龟决心去做环球旅行。出发时它踌躇满志，第一秒四脚飞奔，爬了

1 米。随着体力和毅力的下降，它第二秒钟爬了 1/2 米，第三秒钟爬了 1/3 米，第四秒钟爬

了 1/4 米，如此等等。现在问这只乌龟一小时能爬出多远？爬出 20 米需要多少时间？

显然，要计算的是无穷和式

∑

∞

前面的有限一段之和。由数学知识有

∞

=∞

∑

，也

就是说，只要乌龟坚持爬下去，它不但能完成环球旅行，也能爬到宇宙的尽头。我们想用这

个例子研究一下浮点数的误差问题，并对 float 和 double 类型的情况做些比较。这里先

定义两个采用 float 类型的函数：

float distf (long n) {

long i;

float x = 0.0;

for (i = 1; i <= n; ++i) x += 1/(float)i;

return x;

}

long secondsf (float d) {

long i;

float x = 0.0;

for (i = 1; x < d; ++i) x += 1/(float)i;

return i - 1;

}

其中 distf 计算出乌龟 n 秒爬出的距离，而 secondsf 计算出它爬 d 米所用的秒数。注

意 secondsf 在返回值时减一，因为循环最后的变量更新已经将 i 多加了一次。

现在就很容易写出完成题目的主函数了，其中有如下函数调用：

printf("%ld seconds, %f meters\n", 3600, distf(3600));

printf("%ld seconds, %f meters\n", secondsf(20.0), 20.0);

在作者所用的系统上，程序打印出：

3600 seconds, 8.766049 meters

也就是说，乌龟一小时爬出了 8 米多。但此后程序再也没有输出了，运行了很长时间也不停

止。仔细检查程序没有发现错误，修改主函数放入如下语句：

裘宗燕从问题到程序（2003 年修订），第四章，基本程序设计技术

for (x = 10.0; x <= 20.5; x += 1.0)

printf("%ld seconds, %f meters\n", secondsf(x), x);

程序输出了下面几行：

12367 seconds, 10.000000 meters

33617 seconds, 11.000000 meters

91328 seconds, 12.000000 meters

248695 seconds, 13.000000 meters

662167 seconds, 14.000000 meters

1673859 seconds, 15.000000 meters

乌龟 4 个多小时爬到 10 米远，19 天多才爬到 15 米，而后程序再也没有反应了。这使我们怀

疑问题出在变量的表示范围或者精度方面。我们想到考虑如下的测试函数：

void test_float () {

long i;

float sum = 0.0, sum0 = -1.0;

for (i = 1; sum != sum0; ++i) {

sum0 = sum;

sum += 1 / (float)i;

}

printf ("float: %ld terms at %f\n", i-1, sum);

}

循环的结束条件是变量 sum 的部分和不再变化。在同一系统里，函数很快就输出了一行：

float: 2097152 terms at 15.403683

这就是说，在加入 200 多万项之后，以后所加的数值很小的项已经不再起作用了。由此可见，

我们对乌龟活动情况的模拟受到了数据表示精度和范围的限制。

为了进一步弄清不同数据类型带来的变化，我们采用 double 类型写出同样程序，结

果发现，在 20 亿秒时和数还在增长，当时的输出值是：

double: 2000000000 seconds, 21.993629 meters

也就是说，经过大约 63 年半，乌龟爬出了 21 米。在大约 2 亿 5 千万秒，也就是大约 8 年的

时候爬过了 20 米，这是题目第二部分的答案。由于我们所用系统中的 long 类型用 32 位二

进制表示，在其范围内无法找到采用 double 类型的增长结束点。可以保证的一点是，这

个结束点一定出现在比采用 float 类型大得多的地方。

那么，在精度允许的范围内，采用 float 和 double 类型会产生不同结果吗？我们又

写出下面的比较代码：

int i;

float sumf = 0.0;

double sumd = 0.0;

for (i = 1; i <= 2000000; ++i) {

sumf += 1 / (float)i;

sumd += 1 / (double)i;

}

printf ("float: %d terms at %14.10f\n", i-1, sumf);

printf ("double: %d terms at %14.10f\n", i-1, sumd);

得到的结果确实不同：

float: 2000000 terms at 15.3110322952

double: 2000000 terms at 15.0858736534

精确到小数点后 10 位的正确值应该是：15.0858736534。到这时为止，采用 double 类型的

计算结果在 10 位精度内还没有产生误差，而用 float 计算已经产生了明显的误差，只剩下

两位正确数字了。通过这些试验，我们可以看到多次浮点数运算确实可能带来明显的误差。

在解决实际问题时，运算的次数可能远远多于这个小试验，累计误差的情况更复杂。由此可

以看到选择适当浮点数的需要。人们建议，如果没有特殊原因，就应选用 double 类型。

float 表示范围和精度不能满足许多常规浮点运算的需要，而 long double 类型有可能

影响程序效率。它们应该只用于特殊场合。

上面的试验展示了浮点数运算的误差问题。在某些特殊情况下，浮点数运算的误差积累

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