1
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华
华
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杯
杯
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第
第
十
十
五
五
届
届
中
中
国
国
研
研
究
究
生
生
数
数
学
学
建
建
模
模
竞
竞
赛
赛
题 目 关于跳台跳水体型系数设置的建模分析
摘 要:
针对建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型之间的关
系并设置体型校正系数的问题,本文首先以非刚体动力学为基础,简化跳水动作
为 m 周翻腾与 n 周转体的集合,通过简化随时间变化的欧拉方程建立起 kick 动
力学模型;其次,运用生物力学求解出跳水时间与运动员体型的关系,并对模型
的分析结果进行均一化处理,得到体型校正系数,具有一定的公平性;最后运用
自适应遗传算法重新给出一套新的难度系数评价体系。
问题一中,本文首先通过拟合模型对国际泳联十米跳台跳水难度系数进行了
趋势拟合,在对其进行充分的讨论后,得出了对解决下面问题有帮助的一些合理
的结论。诸如跳水运动中,翻腾周数与转体周数之和不大于 6 周;没有转体动作
时,总难度系数与翻腾周数成正相关,而加入转体动作后,总难度系数将变为并
不总与翻腾周数成正相关;在考虑总的难度系数 DD 时,应着重考虑翻腾周数的
难度系数 A、空中姿势的难度系数 B 和转体周数的难度系数 C 等重要结论。
问题二中,本文利用非刚体动力学,简化随时间变化的欧拉方程,对运动员
跳水动作中的翻腾与转体过程进行了动力学系统分析。通过 kick 动力学模型,
本文首先得到了运动员完成各个跳水动作的时间随初始角动量与惯性矩等参数
的关系;然后,本文的亮点在于通过文献资料法、数理统计法与拟合模型得出了
初始角动量随运动员身高、体重的关系;最后,通过生物力学方法简化了运动员
的身体模型,得到了各个空中姿态下的惯性矩;进而本文可以建立出完成各个跳
水动作时间与运动员体型之间的关系模型。结果如下:
2
6 2 2
2
22
3.22 10 0.0411 139.9
air
ll
E E E
m nS T nlT
ll
l H M H M
s t s
t
2
3
2
3
,
22
.
12
11 2
.
324 9
.
4
l
s yy l l
l
bH
A Strait
b bH
I H H B Pike
aH
C Tuck
经 MATLAB 求解,在各个空中姿态下,运动员完成每个跳水动作的时间都与
其身高、体重呈正相关关系,但没有转体动作的纯翻腾动作受运动员体重的影响
并不大,且大多数跳水动作所需的时间都在 1.7-2.3s 的范围内,如图 9-图 15 所
示。模型对不同空中姿态下 5x35、x03 系列动作进行了验证,发现对于体重在
35kg-70kg、身高在 1.4m-1.7m 范围内的运动员,完成一套跳水动作所需的时间
明显受运动员体重与身高的影响,最大影响约为 35.29%左右。
问题三中,本文对问题二的模型结果进行了均一化处理,即为不同身高、体
重的运动员分配不同的体型校正系数,使其完成跳水动作的时间与体型校正系数
的乘积尽可能相同。通过讨论可知,体型校正系数完全消去跳水时间模型中的身
高、体重参量时为最优,继而本文将体型校正系数转化为了一个与跳水时间呈负
相关关系的、以运动员翻腾与转体周数、身高与体重为自变量的函数模型。模型
对不同空中姿态下 5x35、x03 系列动作进行了验证,发现对于体重在 35kg-70kg
范围内、身高在 1.4m-1.7m 范围内的运动员,修正后的模型几乎不受运动员体重
与身高的影响,其波动仅为±1.05%左右,具有一定的公平性。
问题四中,本文基于问题二的模型建立了新的难度系数评价指标。首先,本
文通过翻腾周数、转体周数及跳水时间来评价翻腾与转体动作的难度系数 A′,
并且利用遗传算法求解了 A′表达式中的未知参量;其次,分别用 B′、C′校正由
于空中姿势、起跳姿势的不同造成的难度系数变化;然后,用 D′、E′分别表示起
跳前正面朝向以及翻腾方向的难度系数与入水过程的难度系数;最后,用 A′、B′、
C′、D′、E′五个难度系数之和综合评定各个跳水动作的难度系数。通过对 26 组
跳水动作的验证,对于只有翻腾没有转体的跳水动作,模型得出的结果与附件 1
中规定的难度系数基本没有区别,如 307C 原难度系数为 3.4,新难度系数为 3.5。
然而,对于既有翻腾又有转体的跳水动作,模型得出的结果与附件 1 中规定的难
度系数存在着比较明显的区别,并且随着翻腾周数与转体周数总和的增加,这一
区别越来越大,二者的难度系数差最高达到 0.5,如 5275B 原难度系数为 4.2,
新难度系数高达 4.7。这是因为在本文的难度评价模型中,对于既有翻腾又有转
体的跳水动作,翻腾周数及转体周数的总和越大,该动作的难度系数越大,且难
度系数的增长速度也逐渐变快。
关键词:kick 动力学模型;生物力学;自适应遗传算法;非刚体动力学
3
摘 要 ..................................................................................................................................... 1
1. 问题重述 ...................................................................................................................................... 4
1.1 问题背景 ............................................................................................................................. 4
1.2 问题分析 ............................................................................................................................. 4
2.模型假设和符号说明 .................................................................................................................... 6
2.1 模型假设 ............................................................................................................................. 6
2.2 符号说明 ............................................................................................................................. 6
3.问题一的分析与建模 .................................................................................................................... 7
3.1 问题一的分析 ..................................................................................................................... 7
3.2 问题一的结论 ................................................................................................................... 11
4.问题二的分析与建模 .................................................................................................................. 11
4.1 问题二的分析 ................................................................................................................... 11
4.2 问题二的动力学模型 ....................................................................................................... 11
4.2.1 立体角 S 的确定.................................................................................................... 14
4.2.2 转体周期 Tt 的确定 .............................................................................................. 15
4.2.3 翻腾过程消耗能量 Es 的确定 .............................................................................. 15
4.2.4 转体过程消耗能量 Et 的确定 .............................................................................. 15
4.3 动力学模型与运动员体型间的关系 ............................................................................... 15
4.3.1 角动量与运动员体型的关系 ................................................................................ 16
4.3.2 惯性矩与运动员体型的关系 ................................................................................ 17
4.4 模型结果与评价 ............................................................................................................... 19
4.4.1 模型适用于各种不同跳水动作的证明 ............................................................... 20
4.4.2 模型对典型跳水动作的适用性证明 ................................................................... 21
5.问题三的分析与建模 .................................................................................................................. 27
5.1 问题分析 ........................................................................................................................... 27
5.2 体型校正系数模型 ........................................................................................................... 27
5.3 模型结果与评价 ............................................................................................................... 28
5.3.1 对 5x35 系列动作的校正效果 ............................................................................. 28
5.3.2 对 x03 系列动作的校正效果 ............................................................................... 31
6.问题四的分析与建模 .................................................................................................................. 35
6.1 问题分析 ........................................................................................................................... 35
6.2 难度系数评价模型 ........................................................................................................... 35
6.3 模型结果与评价 ............................................................................................................... 40
7.模型的评价与灵敏度分析 .......................................................................................................... 43
参考文献......................................................................................................................................... 45
4
1.问题重述
1.1 问题背景
国际泳联在跳水竞赛规则中规定了不同跳水动作的代码及其难度系数(见附
件 1),它们与跳水运动员的起跳方式(起跳时运动员正面朝向、翻腾方向)及
空中动作(翻腾及转体圈数、身体姿势)有关。裁判员们评分时,根据运动员完
成动作的表现优劣及入水效果,各自给出从 10 到 0 的动作评分,然后按一定公
式计算该运动员该动作的完成分,此完成分乘以该动作的难度系数即为该运动员
该动作的最终得分。
1.2 问题分析
因此,出于公平性考虑,一个跳水动作的难度系数应充分反映该动作的真实
难度。但是,有人说,瘦小体型的运动员在做翻腾及转体动作时有体型优势,应
当设置体型系数予以校正,请通过建模分析,回答以下问题:
1. 研究分析附件 1 的 APPENDIX 3-4,关于国际泳联十米跳台跳水难度系数
的确定规则,你们可以得到哪些对解决以下问题有意义的结论?
2. 请应用物理学方法,建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运
动员体型(身高,体重)之间的关系。
3. 请根据你们的模型说明,在 10 米跳台跳水比赛中设置体型校正系数有无
必要。如果有,校正系数应如何设置?
4. 请尝试基于你们建立的上述模型,给出表 1 中所列的十米跳台跳水动作
的难度系数。你们的结果与附件 1 中规定的难度系数有无区别?如果有区别,请
作出解释。
5
表 1: 十米跳台难度系数表(部分动作)
动作代码
PIKE
TUCK
动作代码
PIKE
TUCK
原
新
原
新
原
新
原
新
B
B
C
C
B
B
C
C
105
2.3
2.1
5154
3.3
3.1
107
3.0
2.7
5156
3.8
3.6
109
4.1
3.7
5172
3.6
3.3
1011
--
--
4.7
5255
3.6
3.4
205
2.9
2.7
5257
4.1
3.9
207
3.6
3.3
5271
3.2
2.9
209
4.5
4.2
5273
3.8
3.5
305
3.0
2.8
5275
4.2
3.9
307
3.7
3.4
5353
3.3
3.1
309
4.8
4.5
5355
3.7
3.5
405
2.8
2.5
5371
3.3
3.0
407
3.5
3.2
5373
--
--
3.6
409
4.4
4.1
5375
--
--
4.0
[动作代码说明](1)第一位数表示起跳前运动员起跳前正面朝向以及翻腾方向,1、3
表示面朝水池,2、4 表示背向水池;1、2 表示向外翻腾,3、4 表示向内翻腾。(2)第三位
数字表示翻腾圈数,例如 407,表示背向水池,向内翻腾 3 周半。(3)B 表示屈体,C 表示
抱膝。(4)如果第一位数字是 5,表示有转体动作,此时,第二位数字意义同说明(1),第
三位数字表示翻腾圈数,第四位数字表示转体圈数,例如 5375,表示面向水池向内翻腾 3
周半,转体 2 周半。