题目:一个正八面体,用 r,b 两色对 6 个顶点进行着色;用 y,g 两种颜色对
8 个面进行着色,试求其中 4 个顶点为 r,2 个顶点为 b,4 个面为 y,剩下 4
个面为 g 的方案数。
解:这道题可以说是组合数学中关于 Polya 定理应用较为复杂的一题。解题不
但涉及题意转换,还涉及计算面、点的置换群。经我多方验算,终于找到合理
的解题步骤,现公布如下:
正八面体可以看成由正方体各面中心连线组成。这样题目的意思可以转化
成用 r,b 两色对正方体 6 个面进行着色,用 y,g 两种颜色对正方体 8 个点进
行着色,求 4 个面为 r,2 个面为 b,4 个点为 y,剩下 4 个点为 g 的方案数。
所有置换群如下表:
面 点
不动
6
6
3
3
对棱
6
6
对角线
8
8
不动置换方案数是
置换方案数是
置换方案数是
对棱置换方案数是
对角线置换方案数是 0
所以,总的方案数是:
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