几个数学建模题目的解答
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2010-12-20
10:29:13
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问题一、 某音像商店有 5 名全职售货员和 4 名兼职售货员。全职售货员每月工作 160 小时，
兼职售货员每月工作 80 小时。根据过去的工作记录，全职售货员每小时销售 CD25 张，平
均每小时工资 15 元，加班工资每小时 22.5 元。兼职售货员每小时销售 CD10 张，平均每小
时工资 10 元，加班工资每小时 10 元。现在预测下月 CD 销售量为 27500 张，商店每周开门
营业 6 天，所以可能要加班。另每出售一张 CD 盈利 1.5 元。该商店经理认为，保持稳定的
就业水平加上必要的加班，比不加班但就业水平不稳定要好。但全职售货员如果加班过多，
就会因疲劳过度而造成效率下降，因此不允许每月加班超过 100 小时。建立相应的目标规
划模型，并进行求解。
问题一求解、
问题分析：
无论是全职售货员还是兼职售货员，加班费都不低于正常工资，故在保持稳定的就业水平
时，商店售货员应该全部正常工作，即全职售货员每月工作 160 小时，兼职售货员每月工
作 80 小时。又平均每小时全职售货员的净利润（每小时销售 CD 的利润减去售货员的工
资）比兼职售货员多（25×1.5-22.5）-（10*1.5-10）=10 元，对全职售货员的平均每张 CD 的
净利润（销售一张 CD 的利润减去销售一张 CD 应付给售货员的工资）比兼职售货员的多
1.5-22.5÷25-（1.5-10÷10）=0.1 元，故全职售货员在不允许每月加班超过 100 小时的情况下
工作时间尽可能多的优化模型。
模型假设：
首先假设每月 30 天，由商店每周开门营业 6 天故可假设商店每月开门营业 26 天，每天营
业时间为 12 小时。
模型建立：
记全职售货员和兼职售货员分别为 r1 和 r2 人，所有全职售货员和兼职售货员每月加班时间
和分别是 x1 和 x2 小时、加班费分别是 d1 和 d2、固定工作时间是 t1 和 t2 小时、每小时的
工资分别是 e1 和 e2，每个全职售货员和兼职售货员每小时销售 c1 和 c2 张，每张 CD 的利
润 为 q 元 ； 按 照 假 设 x2<=12×26×4 ； 依 题 意 有 x1<=100,CD 的 总 销 售 量 Q=r1×t1×c1+
r2×t2×c2+x1×c1+x2×c2<=27500,得到目标函数（总利润）为
Y=Q×q-( r1×e1×t1+ r2×t2×e2+x1×d1+x2×d2)
其中 r1=5,r2=4,d1=22.5,d2=10,t1=160,t2=80,e1=15，e2=10,c1=25,c2=10；求 x1 和 x2 使 Y 最大。
模型求解：
由 lingo 可解得：
当 x1=100，x2=180 时，利润最大是 22000 元，即全职售货员和兼职售货员每月加班时间和
分别是 100 和 180 小时时，商店获得最大利润 22000 元。
结果分析：
平均每小时全职售货员的净利润比兼职售货员多 10 元，对全职售货员的平均销售每张 CD
商店获利比兼职售货员的多 0.1 元，故在全职售货员不允许每月加班超过 100 小时的情况
下使其加班 100 小时才可能使利润最大，又销售每张 CD 兼职售货员让商店获利 0.5 元，在
满足上述条件及 CD 销售量为 27500 张的前提下让所有兼职售货员工作 180 小时使得商店获
利最大，为 22000 元。
Lingo 源程序：
MODEL:
SETS:
WORK/U1 U2/:R,D,T,E,C;
ENDSETS
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